Algebra, syksy 1999

Kotitehtävät 7 (palautettava to 4.11.1999 klo 14 mennessä)


Ilmoituksia
1. Pistokkaat tiistaina 2.11.1999. Aiheina laskutoimitus, ryhmä, aliryhmä. Testi keskittyy määritelmiin, tällä kertaa siinä on oikein/väärin väittämiä sekä muutama avoimempi kysymys.
2. ISETL-demot viikolla 1.-5.11.1999. Saatte tehdä ryhmissänne pääasiassa omatoimisesti edelliseltä viikolta jäljelle jääneet ISETL-harjoitukset, emme ehdi seminaarin takia paljonkaan ohjaamaan. Kukin ryhmä lähettäköön opelle ratkaisut yhtenä tiedostona sähköpostissa. Luokka M17 on normaalisti varattu noina aikoina. Tarkemmat ohjeet ISETL-demopaperissa.


1. Osoita, että ryhmässä on jokaisella yhtälöllä ax = b tasan yksi ratkaisu.
Opastus: Osoita, että ratkaisuja on ainakin yksi, ja toisaalta (vaikkapa supistussäännön 5.17 avulla), että kahta eri ratkaisua ei ole.

2. Todista Lemman 6.2 keskeisimmät osat: Jos (G,°) on ryhmä, H Í G ja (H,°) on ryhmä, niin
a) G:n neutraalialkio eG on joukossa H.
b) Jokaisen alkion h Î H ryhmässä G muodostettu käänteisalkio h-1 on joukossa H.
Opastusta: a) Käytä yhtälön ratkaisun yksikäsitteisyyttä molemmissa ryhmissä.

3. a) Osoita, että nollasta poikkeavien kompleksilukujen joukko C\{0} varustettuna kompleksilukujen kertolaskulla on ryhmä.
b) Keksi edelliselle ainakin kaksi erilaista ei-triviaalia aliryhmää.

4. Todista Lause 6.9: Jos g on ryhmän alkio, niin sen virittämä joukko ágñ = { gk \mid k Î Z } on aliryhmä.

5. a) Täydennä luentomonisteessa oleva D4:n laskutaulukko.
b) Mitä sellaisia aliryhmiä S4:llä on, jotka ovat aidosti laajempia kuin D4?

6. Selvitä onko (Z23\{0}, *23) syklinen. Jos on, niin etsi sen kaikki virittäjät.

7. Olkoot (H1,°) ja (H2,°) ryhmän (G,°) aliryhmiä ja S Í H1, S Í H2. Osoita, että (H1ÇH2,°) on joukon S sisältävä ryhmän (G,°) aliryhmä.

8. Tee ISETL-harjoitus 8-9 loppuun ja palauta täydennettynä opelle kuten ISETL-demopaperissa pyydetään.

File translated from TEX by TTH, version 1.96.
On 29 Oct 1999, 12:15.