Algebra, syksy 1999

Kotitehtävät 8 (kertausta, ei palauteta)

Ilmoituksia
ISETL-demot viikolla 1.-5.11.1999 (palautuspäivä 5.11.1999) saatte tehdä ryhmissänne (kuten sähköpostissa jo kerroin) seuraavasti: Ne, jotka eivät olleet 8. ISETL-demoissa, palauttakoot tehtävien 1b), 2b) ja 3 ratkaisut (siis pyydetyt vastaukset) kirjoitettuna ISETL-harjoituspaperiin (ylimääräisiä jäi luokkaan M17 ja korjattu versio on Web-sivulla).
Kaikki teette ryhmissänne haluamaanne aikaan (vaikkapa normaaleihin) ISETLillä (kommentoiden, mukaan lukien täydennystehtävät) tehtävät 5-10. Nämä varmaan mahtuvat yhteen ISETL-dokumenttiin,jonka voi palauttaa paperilla tai tiedostona. Luvatut funktiot PR ja nimea_ryhman täydennys ovat Webissä.
Välikoejärjestely on muuttunut: pieni osa (pari ryhmää) voi käydä kokeessa jo perjantaina 12.11.1999 klo 8.00-10 luokassa M8. Pääosalle koe on ilmoitetusta poiketen salissa M19, maanantaina 15.11.1999 klo 8.00-10. Koealue: monisteen luvut 1-6.

Näiden tehtävien ratkaisuja käsitellään viikolla 45. Testin 2 vastaukset takana.


1. Osoita, että jokainen syklinen ryhmä on Abelin ryhmä. (Vihje: Lause 5.14).
2. Olkoon (G,°) Abelin ryhmä ja olkoon
H : = {x Î G   |  x2 = e}.
Osoita, että (H,°) on ryhmän (G,°) aliryhmä.

3. Olkoot (G1,°) ja (G2,*) ryhmiä. Tällöin yhtälö

(x1,x2)à(y1,y2) : = (x1°y1,x2*y2)
määrittelee laskutoimituksen joukossa G1×G2 (tämäkin kuuluu tarkistaa!). Osoita (G1×G2,à) ryhmäksi.

4. Määrää Fermat'n pienen lauseen avulla pienin ei-negatiivinen jäännös (eli jakojäännös), kun
(i) 51001 jaetaan luvulla 7,
(ii) 3n jaetaan luvulla 17, ja tiedetään, että 16 | n.

5. Ratkaise kongruenssiyhtälö x2 º x (mod p), missä p on alkuluku.

6. Olkoon G ryhmä ja H Ì G, H ¹ Æ. Todista, että H on ryhmän G aliryhmä, jos ja vain jos kaikilla a,b Î H pätee ab-1 Î H.

7. Ryhmän G keskus (center) on joukko

Z(G) : = { a Î G  |  ag = ga kaikille g Î G }.
Todista, että Z(G) on ryhmän G aliryhmä.

8. Jos G on ryhmä, a Î G ja a12 = e, niin mikä alkion a kertaluku voi mahdollisesti olla?

9. Olkoot H ja K ryhmän G aliryhmiä.
a) Osoita esimerkin avulla, että HÈK ei välttämättä ole aliryhmä.
b) Osoita, että HÈK on ryhmän G aliryhmä, jos ja vain jos H Ì K tai K Ì H.

10. Jos a,b Î G, niin todista, että tulon ab kertaluku on sama kuin tulon ba.

11. Jos kaikkien ryhmän G alkioiden paitsi neutraalialkion kertaluku on 2, niin todista, että G on Abelin ryhmä.
Vihje: jos alkion a kertaluku on 2, niin a = a-1, miksi?

12. Olkoon G : = {0,1,2,3,4,5,6,7} ja olkoon * laskutoimitus siten, että

(i) 
a*b
£
a+b  kaikille  a,b Î G,
(ii) 
a*a
= 
0  kaikille  a Î G.
Mikäli tiedetään, että G on ryhmä, niin kirjoita ryhmän G laskutoimitustaulukko.
Vihje: tässä joudut ottamaan liitännäisyyden huomioon jo taulukon rakenteluvaiheessa.

13. Muodostaako pari (R\{0},*) ryhmän, jos

a*b = |a|  b,
missä |a| on luvun a itseisarvo?

14. Todista, tai sitten osoita vääräksi:
(i) Jos p on alkuluku ja p | (a2+b2) ja p | (c2+d2), niin p | (a2-c2).
(ii) Jos p on alkuluku ja p | a ja p | (a2+b2), niin p | b.

15. Jos 2\nmid a, ja 3\nmid a, niin todista, että 24 | (a2-1).

16. Jos syt(a,b) = d, niin todista, että  syt(a/d, b/d) = 1.


File translated from TEX by TTH, version 1.96.
On 3 Nov 1999, 10:50.