Algebra, syksy 1999, kotitehtävät 9, ratkaisuja
1. Aliryhmä á0ñ
= {0}, tekijäryhmä
Z20/á0ñ
= {{0},{1},¼,{19}} @
Z20,
virittäjäalkio {1}.
Aliryhmä á1ñ
= á3ñ
= á7ñ
= á9ñ
= á11ñ
= á13ñ
= á17ñ
= á19ñ
= Z20, tekijäryhmä
Z20/á1ñ
= {{0,1,2,3,¼,19}} @
Z1,
virittäjäalkio {0,1,2,¼,19}
= Z20.
Aliryhmä á2ñ
= á6ñ
= á14ñ
= á18ñ
= {0,2,4,6,¼,18}, tekijäryhmä
Z20/á2ñ
= {{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18},{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}} @
Z2,
virittäjäalkio {1,3,5,7,¼,19}.
Aliryhmä á5ñ
= á15ñ
= {0,5,10,15}, tekijäryhmä
Z20/á5ñ
= {{0,5,10,15},{1,6,11,16},{2,7,12,17},{3,8,13,18},{4,9,14,19}} @
Z5,
virittäjäalkio {1,6,11,16}.
Aliryhmä á4ñ
= á8ñ
= á12ñ
= á16ñ
= {0,4,8,12,16}, tekijäryhmä
Z20/á4ñ
= {{0,4,8,12,16},{1,5,9,13,17},{2,6,10,14,18},{3,7,11,15,19}} @
Z4,
virittäjäalkio {1,5,9,13,17}.
Aliryhmä á10ñ
= {0,10}, tekijäryhmä
Z20/á10ñ
= {{0,10},{1,11},{2,12},{3,13},{4,14},{5,15},{6,16},{7,17},{8,18},{9,19}}
@ Z10,
virittäjäalkio {1,11}.
Yleisesti jos n | 20, niin Z20/ánñ
@ Zn.
2. Väite: Normaalien aliryhmien leikkaus on normaali.
a) Olkoot H1 ja H2 ryhmän
G normaaleja aliryhmiä. Kotitehtävää 7/7 soveltaen,
leikkaus H1ÇH2
on aliryhmä.
b) Väite: On normaali aliryhmä. Käytetään
vaikkapa Lauseen 8.2 antamaa normaaliuden määritelmän kanssa
ekvivalenttia ehtoa:
kaikille g Î G, h
Î H1ÇH2.
Olkoot siis g Î G ja
h Î H2ÇH1
mielivaltaiset. Koska h Î H1
ja h Î H2 ja
H1 ja H2 ovat normaaleja aliryhmiä,
Lauseen 8.2 mukaan ghg-1 Î
H1 ja ghg-1 Î
H2. Siis ghg-1 Î
H1ÇH2.
3. Ryhmän S3 normaaleja aliryhmiä
ovat
N0 : = {[1,2,3]},
N1 : = {[3,1, 2], [2, 3, 1], [1, 2, 3]} ja itse
N2 : = S3.
S3/N0 = {{[1,2,3]},{[1,3,2]},{[2,1,3]},¼,{[3,2,1]}}
@ S3,
S3/N1 = {{[3,1,2],[2,3,1],[1,2,3]},{[2,3,1],[2,1,3],[3,2,1]}
@ Z2
S3/N2 = {S3}
@ Z1.
Mikään muu aliryhmä ei ole normaali, esimerkiksi siis
{[1, 2, 3],[2, 1, 3]} ei ole normaali.
4. Koska G on syklinen, on G = ásñ
jollekin s Î G. Silloin,
jos a,b Î G, on a
= st ja b = sr joillekin t,r
Î Z. Tällöin ab
= st sr = sr st
= ba, eli G on Abelin ryhmä. Mutta normaaliuden määritelmästä
seurasi heti, että Abelin ryhmän jokainen aliryhmä on normaali.
5. Koska G on syklinen, on G = ásñ
jollekin s Î G. Näytetään,
että alkio Ns virittää ryhmän G/N.
Olkoon Na Î G/N.
Koska a on muotoa a = sk jollekin k
Î Z, niin silloin (Lausetta 8.3
toistuvasti soveltaen)
| Na = Nsk = (Ns)(Ns)¼(Ns)
= (Ns)k. |
|
6-8. ISETL-demoissa.
File translated from TEX by TTH,
version 1.96.
On 23 Nov 1999, 13:39.