Algebra, syksy 1999

Kotitehtävät 10 (palautettava to 25.11.1999 klo 14 mennessä)


Ilmoituksia
1. Kiirettä on, välikokeen tulokset ehkä perjantaiksi.
2. Tiistaina 23.11.1999 kolmas testi; aiheena sivuluokat, normaalit aliryhmät ja homomorfismit.

Sovitaan, että R+ : = { x ÎR | x > 0 } (aidosti positiiviset reaaliluvut).
1. Todista määritelmän avulla, että funktio g:R+ ® R+, g(x) : = Öx, on bijektio.

2. Todista 'värittämällä', että ryhmien (Z7\{0},*7) ja (Z3,+3) välillä on homomorfismi.

3. Tutki, onko kuvaus f:R+ ®R+ isomorfismi kertolaskuryhmältä (R+,·) itselleen (eli onko se nk. automorfismi ), kun
a) f(x) : = 2x
b) f(x) : = Öx

4. Olkoon f:G ®G¢ ryhmähomomorfismi. Todista, että f on injektio jos ja vain jos sen ydin kerf = {e}.

5. Olkoon ryhmä G syklinen ja oletetaan, että f:G® G¢ on ryhmäisomorfismi. Todista, että myös G¢ on syklinen.

6. Todista, että kuvaus f:Z12 ®Z12,

f(x): = 4x mod 12
on homomorfismi, ja etsi lähtöjoukon kuva sekä kuvauksen ydin.

7. Todista määritelmän mukaan, että kuvaus f(k) : = 6k mod 11 on bijektio Z10® Z11\{0}.

8. Todista määritelmän mukaan, että kuvaus f(k) : = 6k mod 11 on homomorfismi ryhmältä (Z10,+10) ryhmään (Z11\{0},*11).
(vrt. ISETL-harjoitus 11 tehtävät 1 ja 2)

File translated from TEX by TTH, version 1.96.
On 17 Nov 1999, 12:08.