Algebra, syksy 1999, kotitehtävät 10, ratkaisuja

2. Homomorfismi on esimerkiksi f, jolle f(1) = f(6) = 0, f(2) = f(5) = 1 ja f(3) = f(4) = 2.

	1	6	2	5	3	4
1	1	6	2	5	3	4
6	6	1	5	2	4	3
2	2	5	4	3	6	1
5	5	2	3	4	1	6
3	3	4	6	1	2	5
4	4	3	1	6	5	2

	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

3. a) Sääntö f, f(x) : = 2x, on todella funktio R₊ ® R₊. Edelleen f(ab) = 2ab, mutta f(a)f(b) = 2a 2b = 4ab: esimerkiksi, kun a = 1 ja b = 1, on f(ab) ¹ f(a)f(b). Siis ei homomorfismi, ei isomorfismi, eikä täten automorfismikaan.
b) Samoin f, f(x) : = Öx, on funktio R₊ ® R₊. Tehtävän 1 mukaan se on bijektio. Se on myös homomorfismi, sillä positiiviluvuilla on f(ab) = [Ö(ab)] = ÖaÖb = f(a)f(b).
Kyseessä on siis isomorfismi joukolta itselleen, ja siten automorfismi.

4. ( Þ ) Oletetaan, että f on injektio, ts. on voimassa: f(x) = f(y) vain kun x = y. Tiedämme, että f(e) = e¢, joten ainakin e Î kerf eli {e} Í kerf. Jos taas a Î kerf, niin f(a) = e¢. Mutta silloin f(a) = f(e), ja injektiivisyyden perusteella a = e. Näin myös kerf Í {e} ja kerf = {e}.

( Ü ) Oletetaan, että kerf = {e}. Olkoot a,b Î G ja f(a) = f(b). Näytetään, että a = b eli ab^-1 = e. Käyttämällä homomorfisuutta kahdesti saadaan

5. Olkoon y Î G mielivaltainen. Koska f on surjektio, on y = f(x) jollekin x Î G.
Koska G on syklinen, on G = áhñ jollekin h Î G. Tällöin x = hⁱ jollekin i Î Z. Silloin

6. a) Sääntö f, f(x) : = 4x mod 12, on selvästi funktio Z₁₂® Z₁₂. Käytetään ''modien supistussääntöjä'' (Lause 5.4), esim. (x mod n + y mod n) mod n = (x+y) mod n:

7. Molemmissa joukoissa on 10 alkiota ja laskemalla nähdään, että f(0) = 1, f(1) = 6, f(2) = 3, f(3) = 7, f(4) = 9, f(5) = 10, f(6) = 5, f(7) = 8, f(8) = 4, f(9) = 2 (ja f(10) = 1). Kaikki kuvautuvat eri alkioille ja kaikille kuvautuu jotain; siis bijektio.

8. Edellisestä nähdään, että luvun 6 kertaluku ryhmässä (Z₁₁\{0},*₁₁) on 10, nimittäin