Algebra, syksy 1999

Kotitehtävät 11 (palautettava to 2.12.1999 klo 14 mennessä)


Ilmoituksia loppuajan ohjelmasta:
Viimeiset ISETL-demot 13 ke-to 1.-2.12.1999.
Viimeinen varsinainen luokkatunti 7.12.1999, jolloin 4. pistokkaat.
Matkan takia ei ole algebran opetusta 8.-10.12.1999.
Viimeiset kotitehtävät 12-13: palautuspäivä maanantaina 13.12.1999 klo 12 mennessä.
Kertaus- ja palautetilaisuus tiistaina 14.12.1999 klo 14-16 M2 (huom! aika ja paikka).
2. välikoe (yksilötentti) perjantaina 17.12.1999 klo 8-10 M1.

1. Mikä on ryhmähomomorfismin f:Z ® Zn,
f(x) : = x mod n,
ydin? Mitä voimme silloin päätellä ensimmäinen isomorfialauseen mukaan? Kuvaile tekijäryhmän Z/(kerf) alkioita.

2. Osoita, että (Zn,+n,*n) on rengas, ja vieläpä ykkösellinen ja vaihdannainen.

3. Tarkastellaan joukkoa R×R = R2 ja sen yhteenlaskua + ja kertolaskua ·, joille

(a,b)+(c,d)
: = 
(a+c,b+d),
(a,b)·(c,d) 
: = 
(ac-bd, ad+bc).
Todista, että tällöin kolmikko (R2,+,·) on rengas (Esimerkki 78).

4. Määritellään joukossa Z uusi kertolasku säännöllä ab : = 1 kaikilla a,b Î Z.
a) Muodostavatko Z, tavallinen yhteenlasku ja tämä uusi kertolasku renkaan?
b) Entä jos uusi kertolasku määritellään seuraavasti: ab : = 0 kaikilla a,b Î Z ?

5.-6. ISETL-demojen 12 tehtävät 5 ja 6. Toimittakaa muiden ratkaisujen mukana printti, josta käyvät ilmi pyydetyt ISETL-aktiviteetit ja vastaukset kysymyksiin. Saatatte tietenkin tarvita ponnahduslautaa muistakin tehtävistä.

7. Todista Lauseen 11.2 kohta 4: Jos joukossa R on useampi kuin yksi alkio, niin M(R) sisältää nollantekijöitä (ks. moniste Luku 11.5).


Huomautus. ISETL-demojen 12 tehtävän 3 loppupuolen pitäisi olla:
Vastaa seuraaviin edellistä matriisisysteemiä koskeviin kysymyksiin ja väitteisiin:
a) (M(R),+2,*2) on rengas. Tosi Epätosi
b) Matriisikertolasku on vaihdannainen. Tosi Epätosi
c) Matriisikertolaskulla on neutraalialkio. Tosi Epätosi
d) Mikä on yhteenlaskun neutraalialkio? 

File translated from TEX by TTH, version 1.96.
On 24 Nov 1999, 16:20.