Algebra, syksy 1999, kotitehtävät 11, ratkaisuja
1. Ytimen muodostavat luvun n monikerrat, ts. ker f
= nZ, sillä f(kn) = (kn) mod n
= 0.
Isomorfialauseen mukaan Z/(ker f) @
Z / (nZ) @ Zn.
Tekijäryhmän alkioita ovat sivuluokat (kerf) + a,
esimerkiksi
(ker f) + 0 = ker f = nZ = {¼,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n¼},
(ker f) + 1 = {¼,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1¼},
jne.
2. Tunnetusti (Zn,+n)
on Abelin ryhmä. Kertolasku modulo n on suljettu joukossa Zn,
lisäksi se on liitännäinen ja vaihdannainen. Osittelulait:
todistetaan tässä vain eka (lisää perustelut):
|
|
|
|
| a *n |
æ
è |
(b + c) mod n |
ö
ø |
= |
æ
è |
a |
æ
è |
(b+c) mod n |
ö
ø |
|
ö
ø |
mod n = |
æ
è |
|
æ
è |
a mod n |
ö
ø |
|
æ
è |
(b+c) mod n |
ö
ø |
|
ö
ø |
mod n |
|
|
|
|
|
æ
è |
a(b+c) |
ö
ø |
mod n = (ab+ac) mod n
= (ab mod n) +n (ac mod n)
= (a *n b) +n
(a *n c). |
|
|
|
|
3. (i) Operaatiot + ja · ovat selvästi laskutoimituksia
joukossa R2.
(ii) Yhteenlaskun neutraalialkio on (0,0) Î
R2.
(iii) Jos (x,y) Î R2,
niin vasta-alkio -(x,y) = (-x,-y) Î
R2.
(iv)-(v) Selvästi + on liitännäinen ja vaihdannainen.
Täten tämä (R2,+) on Abelin ryhmä.
(vi) Kertolasku on liitännäinen, sillä
|
| (a,b)· |
æ
è |
(c,d)·(e,f) |
ö
ø |
|
|
|
|
|
|
|
| (a(ce-df)-b(cf+de),
a(cf+de)+b(ce-df)) |
|
|
|
|
| (ace-adf-bcf-bde, acf+ade+bce-bdf), |
|
|
æ
è |
(a,b)·(c,d) |
ö
ø |
·(e,f) |
|
|
|
|
|
|
| ((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e) |
|
|
|
|
| (ace-bde-adf-bcf,
acf-bdf+ade+bce) |
|
|
|
|
(vii) Osittelulait:
|
| (a,b)· |
æ
è |
(c,d)+(e,f) |
ö
ø |
|
|
|
|
|
|
|
| (a(c+e) - b(d+f),
a(d+f) + b(c+e)) |
|
|
|
|
| (ac+ae-bd-bf, ad+af+bc+be), |
|
|
æ
è |
(a,b)·(c,d) |
ö
ø |
+ |
æ
è |
(a,b)·(e,f) |
ö
ø |
|
|
|
| (ac-bd,ad+bc)+(ae-bf,af+be) |
|
|
|
|
| (ac-bd+ae-bf, ad+bc+af+be). |
|
|
|
|
4. a) Z varustettuna tavallisella yhteenlaskulla on tunnetusti
Abelin ryhmä. Tämä kertolasku ab : = 1 on selvästi
laskutoimitus (tulos on aina 1 Î Z),
samoin se on liitännäinen ja vaihdannainen. Riittää
siis tarkistaa osittelulain voimassaolo.
Mutta a(b+c) = 1 ja ab + ac = 1
+ 1 = 2, joten ei ole rengas.
b) Jos ab : = 0 kaikilla a,b Î
Z, niin kertolasku on suljettu, liitännäinen ja vaihdannainen
(tarkista!). Nyt a(b+c) = 0 ja ab+ac
= 0+0 = 0, joten I osittelulaki on voimassa; toinen seuraa sitten vaihdannaisuudesta.
On rengas.
7. (Lause 11.2 kohta 4) Olkoon a Î
R, a ¹ 0R.
Nollamatriisista poikkeaville
|
æ
ç
è |
|
|
|
ö
÷
ø |
|
æ
ç
è |
|
|
|
ö
÷
ø |
= |
æ
ç
è |
|
|
|
ö
÷
ø |
= 0M(R). |
|
5. a) Ks. luennot. b) vaihdannaisuuksia, liitännäisyyksiä
eikä osittelulakeja. Mitä pitää testata näkyy
ISETL-koodista (voi käyttää myös funktiota suljettuko):
> onko_alirengas := func(S,R,s,k);
>> if is_set(S) then return
>> (S subset R) and
>> laskutoimitusko(S,s) and laskutoimitusko(S,k) and
>> (neutraali(R,s) in S) and
>> (forall x in S: kaanteis(R,s,x) in S);
>> end if; end func;
c) Totta. Tehtävässä 2 osoitettiin, että (Zn,+n,*n)
todella on rengas. Jos siis (A,+n) on aliryhmä,
niin se on Abelin ryhmä. Kertolaskun on liitännäisyys ja
osittelulait periytyvät siis renkaasta. Ainoa ongelma on onko kertolasku
suljettu joukossa A. Mutta koska yhteenlasku on suljettu ja kertominen
tässä tapauksessa on oikeastaan yhteenlaskua :
| a *n
b = (ab) mod n = |
(b + b + b +¼+
b)
a kertaa |
mod n. |
|
d) Ei totta, yhteenlaskun neutraalialkiokaan ei kuulu joukkoon! Muttei
sen lisääminenkään auta, esimerkiksi
> Z7 := Z(7); s7 := s(7); k7 := k(7);
> kaikki_aliryhmat(Z7-{0},k7);
{{1}, {1, 6}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}};
eikä noista saada nollankaan avulla kuin triviaali alirengas (Z7,+7,*7).
6. Joukot T1 ja T2 ovat alirenkaita,
mutta T3 ei, sillä se ei sisällä edes
nollamatriisia (eikä + ole muutenkaan suljettu). Seuraavassa vähän
tiivistettyä koodia:
> matrengas(Z3,s3,k3); nimea_rengas(MR,Ms,Mk); #MR;
81;
> T1 := {[[a,a],[0,0]] | a in Z3}; T1;
{[[0, 0], [0, 0]], [[1, 1], [0, 0]], [[2, 2], [0, 0]]};
> onko_alirengas(T1,R,Rs,Rk);
true;
> T2 := {[[a,0],[0,b]] | a,b in Z3}; T2;
{[[0, 0], [0, 0]], [[0, 0], [0, 1]], [[0, 0], [0, 2]], [[1, 0], [0, 0]],
[[1, 0], [0, 1]], [[1, 0], [0, 2]], [[2, 0], [0, 0]], [[2, 0], [0, 1]],
[[2, 0], [0, 2]]};
> onko_alirengas(T2,R,Rs,Rk);
true;
> T3 := {A | A in R: (exists B in R: A .Mk B = yksi)}; #T3;
48;
> onko_alirengas(T3,R,Rs,Rk);
false;
> suljettuko(T3,Ms); suljettuko(T3,Mk);
false; true;
> T4 := {nolla,yksi,[[2,0],[0,2]]}; T4;
{[[0, 0], [0, 0]], [[1, 0], [0, 1]], [[2, 0], [0, 2]]};
> onko_alirengas(T4,R,Rs,Rk);
true;
> T5 := {[[a,b],[0,c]] | a,b,c in Z3}; #T5;
27;
> onko_alirengas(T5,R,Rs,Rk);
true;
File translated from TEX by TTH,
version 1.96.
On 7 Dec 1999, 08:38.