Algebra, syksy 1999, kotitehtävät 12-13, ratkaisuja

Homomorfisuus: f(xy) = a(xy)a^-1 = axa^-1aya^-1 = f(x)f(y).
Injektiivisyys: Jos f(x) = f(y) eli axa^-1 = aya^-1, saadaan vasemmalta ja oikealta supistamalla x = y.
Surjektiivisuus: Jos x Î G (maalijoukko), niin alkio a^-1xa Î G (lähtöjoukko) kuvautuu alkiolle x, sillä f(a^-1xa) = a(a^-1xa)a^-1 = x.

3. Kyseessä todella on funktio, sillä nollasta poikkeavan kompleksiluvun moduli on yksikäsitteinen aidosti positiivinen reaaliluku. Olkoot a+bi, c+di Î C\{0}. Silloin

4. Yhdistetty kuvaus g°f: G ® G¢¢ on todella määritelty.
Homomorfisuus: Kaikilla a,b Î G on

5. Isomorfismi f ryhmältä (G,+) ryhmälle (G,Å) on bijektio, joten sillä on käänteiskuvaus, ja sekin on bijektio, f^-1: G¢® G.
Sen homomorfisuus: olkoot a¢,b¢ Î G¢. Silloin on olemassa vieläpä tasan yhdet sellaiset a,b Î G, että f(a) = a¢ ja f(b) = b¢, eli a = f^-1(a¢) ja b = f^-1(b¢). Edelleen f(a+b) = f(a)Åf(b) = a¢Åb¢. Täten

7. Olkoot a,b,c Î R. Osittelulain mukaan a(b-c) = a(b + (-c)) = ab + a(-c) ja Lauseen 11.5 kohdan 2 mukaan a(-c) = -(ac). Siis a(b-c) = ab + a(-c) = ab + (-(ac)) = ab - ac. Toinen osa samaan tapaan.

8. Muut oletukset ovat kuten kokonaisalueen määritelmässä, joten riittää todistaa tulon nollasäännön voimassaolo:
Olkoot a,b Î R siten, että ab = 0_R. Jos b = 0_R, väite pätee. Oletetaan, että b ¹ 0_R. Koska 0b = 0_R, niin ab = 0_Rb. Supistussäännön mukaan nyt saadaan supistaa alkiolla b ¹ 0_R, jolloin saadaan a = 0_R.

9. Esitetyt operaatiot ovat selvästi laskutoimituksia joukossa Z.
(i) (Z,Å) on Abelin ryhmä: Liitännäisyys:

11. a) Renkaan Z₁₂ idempotentit alkiot ovat 0, 1, 4 ja 9.
b) Kaikissa renkaissa on idempotentteja alkioita, ainakin yhteenlaskun neutraalialkio, sillä 0_R·0_R = 0_R; ks. tehtävä 6: Lause 11.4).
c) Jos R on kokonaisalue, niin 0_R ja 1_R ovat selvästi idempotentteja. Osoitetaan, että kokonaisalueessa ei muita sellaisia olekaan.
Oletetaan, että kokonaisalueessa R on idempotentti alkio x ¹ 0_R, ts. x² = x = x·1_r. Koska x ¹ 0_R, seuraa supistussäännöstä x = 1_R.

12. Kunnan F kertolasku on suljettu joukossa F\{0_F}, koska kunta on kokonaisalue (Lause 11.11) eikä siinä siten ole nollantekijöitä. Kunnan määritelmän mukaan kunnan kertolasku on liitännäinen ja vaihdannainen, sillä on neutraalialkiona ykkösalkio ja jokaisella nollasta poikkeavalla alkiolla on käänteisalkio kertolaskun suhteen.

13. Kuten monisteen Esimerkki 91; pitää kuitenkin muistaa, että nyt laskutoimitusten tulosten pitää olla ''kokonaislukumuotoa'' a + bÖ7.

14. a) U(Z) = {-1,1}, U(Z₁₂) = {1,5,7,11} ja U(Z₇) = Z₇\{0}.
b) Olkoon R ykkösellinen rengas. Nyt U(R) = { x Î R  | $ x^-1 Î R: xx^-1 = x^-1x = 1_R  }. Heti nähdään, että ainakin 1_R Î U(R), joten siellä on neutraalialkio. Toiseksi, jos x Î U(R), niin myös x^-1 Î U(R). Kertolaskun liitännäisyys periytyy osajoukkoon. Suurin ongelma onkin, onko kertolasku suljettu. Olkoot x,y Î U(R). Silloin ovat olemassa x^-1 ja y^-1. Arvataan vanhojen tietojen perusteella, että pitää olla (xy)^-1 = y^-1x^-1. Nyt y^-1x^-1 Î R ja liitännäisyydellä: (xy)(y^-1x^-1) = x(yy^-1)x^-1 = x 1_R x^-1 = x x^-1 = 1_R. Samoin (y^-1x^-1)(xy) = 1_R. Siis xy Î U(R) ja kertolasku suljettu.

15. a) T on alirengas: Ensiksi, T Í M(R), OK.
1) Laskutoimitukset suljettuja: summa selvä, tulo:

Kuntia: R, C, Z₁₇, ({0,4,8,12,16},+₂₀,*₂₀) ja T₁

Kokonaisalueita, muttei kuntia: Z

Vain renkaita: Z₁₆, 5Z, M(R), M(Z₂) ja T₂

18-19. Huomautetaan tässä vain, että ISETL-tehtävässä 6 oli ehkä harhaan johtava opastus, jos nollantekijät tyystin karistetaan pois, aiheutuu siitä tilanteen redusoituminen triviaaliksi nollan muodostamaksi kokonaisalueeksi. Mutta, jos tutkitaan kaikki Z₁₂:n aliryhmät, niin havaitaan - ehkä vähän yllättävästikin, vrt. tehtävä 17 - että {0,4,8} on jopa kunta! Ykkösalkio on 4.

20. Vastaa palautekyselyyn sähköisesti (linkki annettu sp:lla).