2. Ratkaise tekijäryhmässä Z20/á5ñ
yhtälö x + {7,2,12,17} = {1,11,6,16}.
Ratkaisu ISETL:illä (vastaa sitä, että käydään
kokeilemalla läpi kaikki vaihtoehdot):
> nimea_ryhma(Z20,s20);
> nimea_ryhma(Z20,s20,virit(5));
Ryhm\"{a}n objektit m\"{a}\"{a}ritelty: G, o, oo, e, i
Aliryhm\"{a}n objektit m\"{a}\"{a}ritelty: H, GmodH, Ho
> GmodH;
{{0, 5, 10, 15}, {1, 6, 11, 16}, {2, 7, 12, 17},
{3, 8, 13, 18}, {4, 9, 14, 19}};
> { x | x in GmodH: {7,2,12,17} .oo x = {1,11,6,16} };
{{4, 9, 14, 19}};
Siis x = {4, 9, 14, 19} on ainoa ratkaisu. Toinen vaihtoehto on laskea
perustellen niinkuin ryhmässä voidaan tehdä.
3. Selvitä perustellen, ovatko seuraavat väitteet
tosia vai epätosia:
a) Jos f on homomorfismi ryhmältä G ryhmälle
G¢, niin aliryhmän A
kuvajoukon alkukuvajoukko on aliryhmä, jolla on aliryhmänä
A.
Ratkaisu. Homomorfismissa aliryhmän A Í
G kuvajoukko
A¢: = f(A) on maaliryhmän
G¢ aliryhmä (Lause 9.4). Toisaalta
aliryhmän alkukuvan f-1(A¢)
on todettu olevan lähtöryhmän aliryhmä. Koska jokaiselle
a Î A on
f(a) Î
f(A) = A¢, on a Î
f-1(A¢). Siis
A Í
f-1(A¢). Koska A aliryhmänä
on ryhmä, jossa on sama laskutoimitus kuin G:ssä ja siten aliryhmässä
f-1(A¢),
on A myös ryhmän f-1(A¢)
aliryhmä.
Huomautus! Jo triviaalihomomorfismista nähdään, että
ei aina ole f-1(A¢) = A.
b) Alirenkaassa ei voi olla eri ykkösalkio kuin itse renkaassa.
Kyllä voi, asiasta on monia esimerkkejä, esim. {0,4,8}
on renkaan Z12 alirengas (demoissa), jolla on ykkösalkiona
4, vaikka itse renkaassa on ykkösalkiona 1. Minusta sanamuodosta käy
ilmi, että kysymyksessä implisiittisesti tarkoitetaan vain renkaita
ja alirenkaita, joissa on ykkösalkio. Asiaa oli kyllä tulkittu
toisinkin.
4. Osoita, että modulo-laskutoimitusrenkaassa (Zk,+k,*k)
ei ole nollantekijöitä täsmälleen silloin, kun k
on alkuluku.
Katso moniste tai luennot: Lause 11.8.