ISETL-Harjoitus 5, 1999. Ryhmä, alkion potenssi
Tehtävä 1. Askartelua
a) Selitä kommenttimerkillä $ varustetut ISETL-käskyt
ja vastaa kysymyksiin:
> t := [1,2,3,4,5];
> take x fromb t; x; t; $
> take y frome t; y; t; $
> t(3) := 5; t; $
> Z5 := {0..4}; Z5;
> Z5 less 0; Z5; $
> Z6 := Z5 with 5; Z6; Z5; $
Mitä siis tekevät rakenteet:
take - fromb:
take - frome:
- less -:
- with -:
b) Mikä matemaattinen asia on esillä seuraavassa?
> A := {1..4}; B := {1..3};
> T := {[a,b] | a in A, b in B}; T; $
> is_map(T); $
> T(1); $
> E := {[1,2],[2,3],[4,2]};
> E(1); E(2); E(3); E(4); $
Miksi ensin on virheilmoitus, miksi sitten E(1) toimii?
c) Muodosta funktio x, jolla saa karteesisen tulon.
Määrittele se niin, että saat sitten seuraavalla käskyllä
saman tuloksen kuin alla:
> A .x B;
{[1, 2], [1, 3], [1, 1], [2, 3], [2, 2], [2, 1], [3, 1], [3, 2], [3, 3],
[4, 2], [4, 3], [4, 1]};
Tehtävä 2. Laskutoimitusten ominaisuudet
Kullakin ryhmällä pitäisi olla tehtynä tiedosto RYHMA.ISE,
joka sisältää perustyökalut laskutoimitusten ominaisuuksien
tutkimiseen, siis funktiot
suljettuko(J,op), maalijoukko {true, false}
liitannainenko(J,op), maalijoukko {true, false}
vaihdannainenko(J,op), maalijoukko {true, false}
neutraalialkioko(J,op), maalijoukko {true, false}
neutraali(J,op), maalijoukko {alkio, OM}
kaanteisalkiotko(J,op), maalijoukko {true, false}
kaanteis(J,op,a), maalijoukko {alkio, OM}
Jos ei ole valmista, tehkää heti loppuun tai lainatkaa
naapureilta!
Tiedoston RYHMA.ISE saa ISETLissä käyttöön komennolla
!include a:RYHMA.ISE. ISETL vain lukee määrittelyt,
jos ei sinne ole mitään tulostettavaa sisällytetty. Muistissa
olevien muuttujien ja funktioiden nimet saa selville direktiivillä
!ids ja funktioiden koodin direktiivillä !pp, kokeile
esimerkiksi (ilman puolipistettä)
> !pp kaanteis
Kokeile funktioiden toimintaa seuraavilla joukoilla ja laskutoimituksilla;
jos tulos on false, etkä keksi heti miksi, muodosta
ISETLin avulla vastaesimerkki:
a) Kokeilu 1
> G := {0..4};
> o := |x,y -> 3*(x + y) mod 5|;
Voimassa ovat:
b) Kokeilu 2
> G := {true,false};
> ja := |P,Q -> P and Q|;
Voimassa ovat:
Tehtävä 3. Ryhmä
Klikkaa WWW-sivulta
http://www.joensuu.fi/matemluonto/matematiikka/kurssit/algebra/Materiaalia/index.html
tiedosto JOUKOT.ISE ja talleta se levykkeelle. Se sisältää
- joukot Z2, Z5, Z6, Z12, Z20, S3, S4
- laskutoimitukset s2, s5, s6, s12, s20, k2, k5, k6, k12, k20, eli
laskutoimituksia +2,¼,+20
ja *2,¼,*20
sekä permutaatioiden yhdistämisen os.
Lataa ISETLin muistiin JOUKOT.ISE direktiivillä !include a:JOUKOT.ISE.
Kirjoita
> !pp os
niin näät 'mukautuvan' ossin.
Määritelmä. Olkoon °
joukon G laskutoimitus. Pari (G,°)
on ryhmä (group), jos
(i) ° on liitännäinen,
(ii) laskutoimituksella ° on neutraalialkio
e Î G,
(iii) jokaisella a Î G
on käänteisalkio a-1 Î
G.
Kirjoita funktio onko_ryhma, jonka syötteenä
on joukko G ja joukon G alkioille määritelty operaatio
o ja joka tarkistaa, onko (G,°) ryhmä.
HUOMAUTUS. Ryhmän määritelmään kuuluu, että
° on laskutoimitus joukossa G. Tarkasti
ottaen funktion onko_ryhma tulisi tarkistaa myös tämä.
Oletamme kuitenkin tässä, että operaatio °
on määritelty koko joukossa G ja tyydymme tarkistamaan,
että operaatio ° on suljettu joukossa
G.
Testaa funktiollasi seuraavia pareja. Mikäli pari ei ole
ryhmä, selvitä miksi.
a) (Z12,+12) on ryhmä. / Ei
ole ryhmä, sillä
b) (Z12,*12)
on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä
c) (Z12\{0},*12)
on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä
d) (Z5,*5)
on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä
e) (Z5\{0},*5)
on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä
f) (Z5\{0},*6)
on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä
g) (Z6\{0},*6)
on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä
h) (Z6,+5) on ryhmä. / Ei
ole ryhmä, sillä
i) Joukon Z12 parillisten alkioiden joukko
ja *12 on ryhmä. / Ei ole, sillä
j) Joukon Z12 parillisten alkioiden joukko
ja +12 on ryhmä. / Ei ole, sillä
k) (Z12, os) on ryhmä. / Ei ole
ryhmä, sillä
l) (S3, os) on ryhmä. / Ei ole
ryhmä, sillä
m) (S4, os) on ryhmä. / Ei ole
ryhmä, sillä
n) (S3\{[1,3,2]}, os) on ryhmä.
/ Ei ole ryhmä, sillä
Tehtävä 4
a) Tutkitaan ryhmää (S3,os).
Mitä on [2,3,1] .os [2,3,1] ?
Mitä on [2,3,1] .os [2,3,1] .os [2,3,1] ?
Mitä on [2,3,1] .os [2,3,1] .os [2,3,1] .os [2,3,1] ?
b) Ryhmässä (Z6,+6):
5 +6 5 =
5 +6 5 +6 5 =
5 +6 5 +6 5 +6 5 =
5 +6 5 +6 5 +6 5 +6 5 =
Tehtävä 5. Alkioiden potenssit
a) Olkoon g ryhmän (G,°)
alkio ja n Î N. Miten määritellään
alkion g potenssi gn?
b) Onko totta, että aina jossakin vaiheessa gm
= e, kun g on ryhmän (G,°)
alkio ja e on samaisen ryhmän neutraalialkio? Tutki väitettä
niille tehtävän 3 joukko-laskutoimituspareille, jotka olivat
ryhmiä.
c) Ehdota määritelmää negatiivisille potensseille.
d) Mitä on [2,3,1]-2?
Tehtävä 6. Ovatko seuraavat parivaljakot ryhmiä?
Tutki, ovatko seuraavat (joukko, laskutoimitus)-parit ryhmiä.
Mikäli eivät, selitä miksi. Näissä tehtävissä
joudutte käyttämään omia päitänne (ja paperia
ja kynää) tai VISETLiä eli VIRTUAL ISETLiä:
a) joukko {1,-1} ja tavallinen kertolasku
b) Z ja tavallinen yhteenlasku
c) Z ja tavallinen kertolasku
d) Z\{0} ja tavallinen kertolasku
e) 2Z (parillisten lukujen joukko) ja tavallinen yhteenlasku
f) 2Z ja tavallinen kertolasku
g) R2 ja vektorien yhteenlasku.
h) 3-ulotteisen avaruuden vektorit ja ristitulo
i) {true, false} ja looginen operaattori 'tai'
Tehtävä 7. Neliön symmetriat (ainakin osittain kotiin)
Tarkastellaan jostakin jäykästä materiaalista tehtyä
ohutta neliötä, esimerkiksi levykettä. Merkitse alustaan
ja neliön nurkkiin numerot 1, 2, 3 ja 4. Kuvittele, että nostat
neliön ja laitat sen takaisin samaan paikkaan niin että mahdollisesti
nurkkien paikat muuttuvat. Kutsutaan tällaista operaatioita neliön
symmetriamuunnokseksi tai neliön symmetriaksi. Voit tehdä
tämän kaksi kertaa peräkkäin, kenties käyttäen
erilaista symmetriaa jälkimmäisellä kerralla. Jos suoritat
kaksi erilaista symmetriamuunnosta peräkkäin, lopputulos on silti
neliön symmetriamuunnos. Symmetrioiden suorittamista peräkkäin
voidaan niinmuodoin ajatella operaationa, jossa kahdesta symmetriasta saadaan
uusi symmetria suorittamalla nuo kaksi symmetriaa peräjälkeen
ja katsomalla lopputulosta.
a) Kuinka monta erilaista symmetriamuunnosta neliöllä
on?
Ne ovat:
b) Selitä kuinka neliön symmetria voidaan käsittää
permutaationa (huomaa, että tämän voi tehdä usealla
eri tavalla):
c) Talleta ISETLissä neliön symmetrioiden joukko nimelle
D4 permutaatioiden avulla ja lisää se tiedostoon JOUKOT.ISE.
Mitä laskutoimitusta voit käyttää symmetrioiden
yhdistämiseen?
d) Mitä laskutoimituksen ominaisuuksia neliön symmetrioiden
yhdistämisellä on?
suljettu
liitännäisyys
vaihdannaisuus
neutraalialkio
vasta-alkiot .
Tehtävä 8. Askartelua
a) Tutki seuraavia olioiden f,g,h koodeja ja arvaa toiminta.
Toteuta ne.
> f := func(x); return (x+3) mod 6; end func;
> f(5); f(0); f(37);
> g := | x -> (x+3) mod 6 |; $
> g(5); g(0); g(37);
> h := {[x, (x+3) mod 6] | x in [-10..10]}; $
> h(5); h(0); h(37); $
> forall x in [-10..10]: f(x) = g(x) and f(x) = h(x);$
Mitä yhteistä niillä on:
Mitä eroa:
b) Lue läpi seuraavat koodit ja koeta ymmärtää
mitä niissä tapahtuu:
> F := func(P,Q); return (P impl Q); end func;
> G := func(P,Q); return ((P and Q) or P); end func;
> [[[T1,T2],F(T1,T2)]| T1,T2 in [true,false]];
> [[[T1,T2],G(T1,T2)]| T1,T2 in [true,false]];
Sopivat määrittelyjoukot:
Maalijoukot:
Millä muuttujien arvopareilla F ja G saavat eri arvot:
> FJ := {F,G}; FJ;
> tosiepa := func(H);
>> if H in FJ then return H(true,false); end if;
>> end func;
> tosiepa(F); tosiepa(G);
Mikä on tosiepan määrittelyjoukko?
File translated from TEX by TTH,
version 1.96.
On 8 Oct 1999, 16:05.