ISETL-Harjoitus 5, 1999. Ryhmä, alkion potenssi

Tehtävä 1. Askartelua

a) Selitä kommenttimerkillä $ varustetut ISETL-käskyt ja vastaa kysymyksiin:
>       t := [1,2,3,4,5];
>       take x fromb t; x; t;    $
>       take y frome t; y; t;    $
>       t(3) := 5; t;            $
>       Z5 := {0..4}; Z5;
>       Z5 less 0; Z5;           $
>       Z6 := Z5 with 5; Z6; Z5; $
Mitä siis tekevät rakenteet:
take - fromb
 take - frome

- less -
 - with -
b) Mikä matemaattinen asia on esillä seuraavassa?
>       A := {1..4}; B := {1..3};         
>       T := {[a,b] | a in A, b in B}; T; $
>       is_map(T);                        $
>       T(1);                             $
>       E := {[1,2],[2,3],[4,2]};
>       E(1); E(2); E(3); E(4);           $
Miksi ensin on virheilmoitus, miksi sitten E(1) toimii?
c) Muodosta funktio x, jolla saa karteesisen tulon. Määrittele se niin, että saat sitten seuraavalla käskyllä saman tuloksen kuin alla:
>       A .x B;
{[1, 2], [1, 3], [1, 1], [2, 3], [2, 2], [2, 1], [3, 1], [3, 2], [3, 3],
 [4, 2], [4, 3], [4, 1]};

Tehtävä 2. Laskutoimitusten ominaisuudet

Kullakin ryhmällä pitäisi olla tehtynä tiedosto RYHMA.ISE, joka sisältää perustyökalut laskutoimitusten ominaisuuksien tutkimiseen, siis funktiot
suljettuko(J,op), maalijoukko {true, false}
liitannainenko(J,op), maalijoukko {true, false}
vaihdannainenko(J,op), maalijoukko {true, false}
neutraalialkioko(J,op), maalijoukko {true, false}
neutraali(J,op), maalijoukko {alkio, OM}
kaanteisalkiotko(J,op), maalijoukko {true, false}
kaanteis(J,op,a), maalijoukko {alkio, OM}

Jos ei ole valmista, tehkää heti loppuun tai lainatkaa naapureilta!
Tiedoston RYHMA.ISE saa ISETLissä käyttöön komennolla !include a:RYHMA.ISE. ISETL vain lukee määrittelyt, jos ei sinne ole mitään tulostettavaa sisällytetty. Muistissa olevien muuttujien ja funktioiden nimet saa selville direktiivillä !ids ja funktioiden koodin direktiivillä !pp, kokeile esimerkiksi (ilman puolipistettä)

> !pp kaanteis
Kokeile funktioiden toimintaa seuraavilla joukoilla ja laskutoimituksilla; jos tulos on false, etkä keksi heti miksi, muodosta ISETLin avulla vastaesimerkki:
a) Kokeilu 1
>       G := {0..4};
>       o := |x,y -> 3*(x + y) mod 5|;
Voimassa ovat
b) Kokeilu 2
>       G := {true,false};
>       ja := |P,Q -> P and Q|;
Voimassa ovat

Tehtävä 3. Ryhmä

Klikkaa WWW-sivulta
http://www.joensuu.fi/matemluonto/matematiikka/kurssit/algebra/Materiaalia/index.html
tiedosto JOUKOT.ISE ja talleta se levykkeelle. Se sisältää
- joukot Z2, Z5, Z6, Z12, Z20, S3, S4
- laskutoimitukset s2, s5, s6, s12, s20, k2, k5, k6, k12, k20, eli laskutoimituksia +2,¼,+20 ja *2,¼,*20 sekä permutaatioiden yhdistämisen os.
Lataa ISETLin muistiin JOUKOT.ISE direktiivillä !include a:JOUKOT.ISE.
Kirjoita
> !pp os
niin näät 'mukautuvan' ossin.

Määritelmä. Olkoon ° joukon G laskutoimitus. Pari (G,°) on ryhmä (group), jos
(i) ° on liitännäinen,
(ii) laskutoimituksella ° on neutraalialkio e Î G,
(iii) jokaisella a Î G on käänteisalkio a-1 Î G.

Kirjoita funktio onko_ryhma, jonka syötteenä on joukko G ja joukon G alkioille määritelty operaatio o ja joka tarkistaa, onko (G,°) ryhmä.
HUOMAUTUS. Ryhmän määritelmään kuuluu, että ° on laskutoimitus joukossa G. Tarkasti ottaen funktion onko_ryhma tulisi tarkistaa myös tämä. Oletamme kuitenkin tässä, että operaatio ° on määritelty koko joukossa G ja tyydymme tarkistamaan, että operaatio ° on suljettu joukossa G.

Testaa funktiollasi seuraavia pareja. Mikäli pari ei ole ryhmä, selvitä miksi.
a) (Z12,+12) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 


  b) (Z12,*12) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 
  c) (Z12\{0},*12) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 
  d) (Z5,*5) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 
  e) (Z5\{0},*5) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 
  f) (Z5\{0},*6) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 
  g) (Z6\{0},*6) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 
  h) (Z6,+5) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 
  i) Joukon Z12 parillisten alkioiden joukko ja *12 on ryhmä. / Ei ole, sillä 
  j) Joukon Z12 parillisten alkioiden joukko ja +12 on ryhmä. / Ei ole, sillä 
  k) (Z12, os) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 
  l) (S3, os) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 
  m) (S4, os) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 
  n) (S3\{[1,3,2]}, os) on ryhmä. / Ei ole ryhmä, sillä 

Tehtävä 4

a) Tutkitaan ryhmää (S3,os).
Mitä on [2,3,1] .os [2,3,1]
Mitä on [2,3,1] .os [2,3,1] .os [2,3,1]
Mitä on [2,3,1] .os [2,3,1] .os [2,3,1] .os [2,3,1]

b) Ryhmässä (Z6,+6):
5 +6 5 =
5 +6 5 +6 5 =
5 +6 5 +6 5 +6 5 =
5 +6 5 +6 5 +6 5 +6 5 =

Tehtävä 5. Alkioiden potenssit

a) Olkoon g ryhmän (G,°) alkio ja n Î N. Miten määritellään alkion g potenssi gn?


b) Onko totta, että aina jossakin vaiheessa gm = e, kun g on ryhmän (G,°) alkio ja e on samaisen ryhmän neutraalialkio? Tutki väitettä niille tehtävän 3 joukko-laskutoimituspareille, jotka olivat ryhmiä.
c) Ehdota määritelmää negatiivisille potensseille. 

d) Mitä on [2,3,1]-2

Tehtävä 6. Ovatko seuraavat parivaljakot ryhmiä?

Tutki, ovatko seuraavat (joukko, laskutoimitus)-parit ryhmiä. Mikäli eivät, selitä miksi. Näissä tehtävissä joudutte käyttämään omia päitänne (ja paperia ja kynää) tai VISETLiä eli VIRTUAL ISETLiä:
a) joukko {1,-1} ja tavallinen kertolasku
b) Z ja tavallinen yhteenlasku
c) Z ja tavallinen kertolasku
d) Z\{0} ja tavallinen kertolasku
e) 2Z (parillisten lukujen joukko) ja tavallinen yhteenlasku
f) 2Z ja tavallinen kertolasku
g) R2 ja vektorien yhteenlasku.
h) 3-ulotteisen avaruuden vektorit ja ristitulo
i) {true, false} ja looginen operaattori 'tai'

Tehtävä 7. Neliön symmetriat (ainakin osittain kotiin)

Tarkastellaan jostakin jäykästä materiaalista tehtyä ohutta neliötä, esimerkiksi levykettä. Merkitse alustaan ja neliön nurkkiin numerot 1, 2, 3 ja 4. Kuvittele, että nostat neliön ja laitat sen takaisin samaan paikkaan niin että mahdollisesti nurkkien paikat muuttuvat. Kutsutaan tällaista operaatioita neliön symmetriamuunnokseksi tai neliön symmetriaksi. Voit tehdä tämän kaksi kertaa peräkkäin, kenties käyttäen erilaista symmetriaa jälkimmäisellä kerralla. Jos suoritat kaksi erilaista symmetriamuunnosta peräkkäin, lopputulos on silti neliön symmetriamuunnos. Symmetrioiden suorittamista peräkkäin voidaan niinmuodoin ajatella operaationa, jossa kahdesta symmetriasta saadaan uusi symmetria suorittamalla nuo kaksi symmetriaa peräjälkeen ja katsomalla lopputulosta.
 
a) Kuinka monta erilaista symmetriamuunnosta neliöllä on? 
Ne ovat:


b) Selitä kuinka neliön symmetria voidaan käsittää permutaationa (huomaa, että tämän voi tehdä usealla eri tavalla):




c) Talleta ISETLissä neliön symmetrioiden joukko nimelle D4 permutaatioiden avulla ja lisää se tiedostoon JOUKOT.ISE.
Mitä laskutoimitusta voit käyttää symmetrioiden yhdistämiseen? 

d) Mitä laskutoimituksen ominaisuuksia neliön symmetrioiden yhdistämisellä on?

suljettu
liitännäisyys
vaihdannaisuus
neutraalialkio
vasta-alkiot .

Tehtävä 8. Askartelua

a) Tutki seuraavia olioiden f,g,h koodeja ja arvaa toiminta. Toteuta ne.
>       f := func(x); return (x+3) mod 6; end func;
>       f(5); f(0); f(37);
>       g := | x -> (x+3) mod 6 |;                $
>       g(5); g(0); g(37);
>       h := {[x, (x+3) mod 6] | x in [-10..10]}; $
>       h(5); h(0); h(37);                        $
>       forall x in [-10..10]: f(x) = g(x) and f(x) = h(x);$
Mitä yhteistä niillä on: 

Mitä eroa

b) Lue läpi seuraavat koodit ja koeta ymmärtää mitä niissä tapahtuu:
>       F := func(P,Q); return (P impl Q); end func;
>       G := func(P,Q); return ((P and Q) or P); end func;
>       [[[T1,T2],F(T1,T2)]| T1,T2 in [true,false]];
>       [[[T1,T2],G(T1,T2)]| T1,T2 in [true,false]];
Sopivat määrittelyjoukot
 Maalijoukot
Millä muuttujien arvopareilla F ja G saavat eri arvot
>       FJ := {F,G}; FJ;
>       tosiepa := func(H);
>>      if H in FJ then return H(true,false); end if;
>>      end func;
>       tosiepa(F); tosiepa(G);
Mikä on tosiepan määrittelyjoukko? 

File translated from TEX by TTH, version 1.96.
On 8 Oct 1999, 16:05.