ISETL-Harjoitus 6, 1999. Potenssit, yhtälöt
Ihan aluksi talleta tiedoston RYHMA.ISE uusi versio WWW-sivulta
http://www.joensuu.fi/matemluonto/matematiikka/kurssit/algebra/Materiaalia/index.html
Lataa sitten ISETLW:n muistiin ryhmätestit sekä joukot ja
laskutoimitukset (onhan mukana kotilaskuina lisätyt):
> !include a:ryhma.ise
> !include a:joukot.ise
Tehtävä 1. (vrt. ISETL-demojen 5 tehtävä 4)
a) Laske ryhmässä (Z6,+6):
5 +6 5 =
5 +6 5 +6 5 =
5 +6 5 +6 5 +6 5 =
5 +6 5 +6 5 +6 5 +6 5 =
b) Tutkitaan ryhmää (S3,os).
Laske
[2,3,1] .os [2,3,1] =
[2,3,1] .os [2,3,1] .os [2,3,1] =
[2,3,1] .os [2,3,1] .os [2,3,1] .os [2,3,1] =
Tehtävä 2. Askartelua
Mitä tekee koodi
> f := func(p,n);
>> local q;
>> if is_integer(n) and n >= 1 then
>> q := p;
>> if n > 1 then q := %os[p | k in [1..n]]; end if;
>> return q;
>> end if;
>> end func;
> f([2,3,1],0); f([2,3,1],1); f([2,3,1],2); f([2,3,1],3); f([2,3,1],4);
Vastaus:
Tehtävä 3. Alkioiden potenssit
a) Olkoon g ryhmän (G,°)
alkio ja n Î N. Miten määritellään
alkion g potenssi gn?
g1 =
g2 =
gn =
b) Miten määritellään nollas potenssi g0?
c) Ehdota määritelmää negatiivisille potensseille:
g-1 =
g-2 =
g-n =
d) Laske
[2,3,1]-1 =
[2,3,1]-2 =
[2,3,1]-3 =
[2,3,1]-4 =
[2,3,1]-90 =
[2,3,1]-91 =
[2,3,1]-92 =
[2,3,1]-93 =
Tehtävä 4. Nimetään ryhmä
Tiedostoon ryhma.ise on lisätty kolme ohjelmaa:
laskutoimitusko, korvaa funktion suljettuko
onko_ryhma, funktio viime demoista
nimea_ryhma, proseduuri.
Tutki komennon
> !pp nimea_ryhma
avulla tämän proseduurin tomintaa. Kirjoita myös seuraavat
rivit, ja varmista, että ymmärrät mitä niissä
tapahtuu:
> nimea_ryhma(Z6,s6);
> G; e; !pp o
> 2 .o 3; 3 .o 4;
> i(2);
> [[x,i(x)] | x in G];
> nimea_ryhma(Z5-{0}, k5);
> G; e; !pp o
> 2 .o 3; 3 .o 4;
> i(2);
> [[x,i(x)] | x in G];
Tehtävä 5. Lisää potensseja
a) Kirjoita seuraava koodi, JOKA OLETTAA, ETTÄ OLET SUORITTANUT
KOMENNON nimea_ryhma(G,o) JOLLEKIN RYHMÄLLE (G,o):
> pot := func(g,n);
>> s := e;
>> for i in [1..n] do s := s .o g; end for;
>> return s;
>> end func;
Mitä se tekee?
b) Määritä ne välin [1,20] luvut n,
joille [2,3,1]n = e, n =
ja ne, joille [2,1,3]n = e, n =
c) Onko totta, että aina jossakin vaiheessa gm
= e, kun g on ryhmän (G,°)
alkio ja e on samaisen ryhmän neutraalialkio? Tutki väitettä
seuraaville joukko-laskutoimituspareille (mikäli käytät
pot-funktiota, muista suorittaa ensin nimea_ryhma-komennot!):
(Z6,+6)
(Z5\{0},*5)
(S3,os)
(Z,+)
Entä joukko-laskutoimitusparille (Z6,*6),
joka ei ole ryhmä?
d) Muuta edellä olevaa pot funktiota niin, että
sillä voidaan määrätä myös negatiiviset potenssit.
Huomaa funktion i rooli!
Tehtävä 6. Yhtälöistä
Ratkaise tavalla tai toisella joukossa S3:
|
|
|
|
|
| p °[2,3,1]
°p = p °[3,1,2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
File translated from TEX by TTH,
version 1.96.
On 13 Oct 1999, 16:26.