ISETL-Harjoitus 7, 1999. Aliryhmät
Kopioi tiedostojen ryhma.ise ja joukot.ise uudet versiot
WWW-sivulta
http://www.joensuu.fi/matemluonto/matematiikka/kurssit/algebra/Materiaalia/index.html
Lataa ne sitten ISETLW:n muistiin !include:lla. Tiedostoon
joukot.ise on lisätty D4 permutaatiomuodossa.
Tiedostoon ryhma.ise on lisätty potenssifunktio pot,
jonka käyttö vaatii, että muistissa on joukko G
ja siinä järkevästi määritelty laskutoimitus o,
sekä neutraalialkio e ja käänteisalkioita laskeva
funktio i; nämähän saa aikaan ryhmän nimeävällä
proseduurillamme nimea_ryhma.
Tehtävä 1. Askartelua
Selvitä, mitä puuhataan seuraavassa:
> P := pow(Z2); P; #P;
> P := pow(Z3); P; #P;
> P := pow(Z4); P; #P;
> P := pow(Z5); #P;
> P := pow(S3); #P;
> arb(P); arb(P); arb(P); arb(P); arb(P); arb(P);
> choose A in P : onko_ryhma(A,os);
> kaanteis(S3,os,[3,2,1]);
> choose A in P : onko_ryhma(A,os);
> for A in P do
>> if onko_ryhma(A,os) then print A; end if;
>> end for;
> D4;
> onko_ryhma(D4,os);
Tehtävä 2. Aliryhmä
Määritelmä. Olkoon (G,°)
ryhmä. Jos H Í G ja
(H,°) on itsekin ryhmä, niin
H on ryhmän G aliryhmä.
Tarkista (joko ISETLin avulla tai ilman), onko seuraavissa tapauksissa
H ryhmän G aliryhmä. Mikäli ei, tutki miksi.
Kussakin tapauksessa operoidaan H:ssa G:n laskutoimituksella,
so. rajoittumalla joukkoon H.
1) G : = Z20, H
on joukon Z20 parilliset alkiot (ja laskutoimitus siis
+20).
2) G : = Z20, H
: = {0,2,4,6,8}.
3) G : = Z20, H
: = {0,3,6,9}.
4) G : = Z12, H
: = {0,3,6,9}, laskutoimitus +12.
5) G : = Z13\{0}, H
Í G, laskutoimitus *13.
6) G : = S4, H :
= {[2,3,4,1],[4,3,2,1]}, laskutoimitus os.
7) G : = S4, H :
= {[1,2,3,4],[2,1,3,4]}.
8) G : = D4, H on
kiertojen joukko.
9) G : = S4, H on
niiden permutaatioiden joukko, jotka pitävät alkion 2 paikallaan.
10) (VISETL) G : = Q, H : =
Z, laskutoimitus +.
11) (VISETL) G : = Q, H : =
Q+.
12) (VISETL) G : = R\{0}, H
: = Q\{0}, kertolasku.
Mitä ryhmän määritelmän ehtoa ei tarvitse
enää erikseen tarkistaa aliryhmätestauksessa?
Tehtävä 3. Aliryhmän testausfunktio
a) Kirjoita funktio onko_aliryhma, jonka syötteenä
ovat joukot H ja G sekä laskutoimitus o. Funktiosi
tulee tarkistaa, onko H ryhmän G aliryhmä, ja ottaa
huomioon edellä löydetty seikka, eli että kaikkia ryhmän
määritelmän vaatimuksia ei tarvitse enää tarkistaa.
Huomaa! subset-komento testaa 'osajoukkoutta'.
b) Etsi kaikki ryhmän (Z12, +12)
aliryhmät.
c) Etsi kaikki ryhmän (Z5\{0},*5)
aliryhmät.
d) Kaikkien äskeisten esimerkkien perusteella, näyttäisikö
ryhmän kertaluvulla ja aliryhmän kertaluvulla olevan mitään
yhteyttä?
Tehtävä 4. Syklinen aliryhmä
a) Suorita komento nimea_ryhma(Z12,s12). Valitse jokin
alkio a ryhmästä Z12. Muodosta
ISETLin avulla joukko { ai \mid i Î
Z }. Potenssien löytämiseksi käytä pot-funktiota.
Muista, että ISETLissä ei voi antaa i:n olla mikä
tahansa kokonaisluku, vaan se pitää rajata jollekin välille,
esimerkiksi i in [-20..20].
Alkio a = , joukko
{ ai \mid i Î
Z } =
Onko tämä joukko ryhmän Z12 aliryhmä?
(vertaa Tehtävä 2).
Kokeile samaa jollekin toiselle alkiolle:
Nyt a = , joukko {
ai \mid i Î Z
} =
Se on / ei ole aliryhmä.
b) Tee sama ryhmässä S4.
Alkio a = , joukko
{ ai \mid i Î
Z } =
Se on / ei ole aliryhmä.
c) Sama kuin edellä, mutta ryhmässä Z.
Alkio a = , joukko
{ ai \mid i Î
Z } =
Se on / ei ole aliryhmä.
d) Sama kuin edellä, mutta ryhmässä (R\{0},·).
Alkio a = , joukko
{ ai \mid i Î
Z } =
Se on / ei ole aliryhmä.
Tehtävä 5.
a) Mitä tekee seuraava funktio, kun oletetaan, että nimea_ryhma
on suoritettu?
> virit := func(g);
> return {pot(g,n) | n in [-#G..#G]};
> end func;
b) Suorita komento nimea_ryhma(Z12,s12).
Mitä on virit(4)?
Entä virit(3)?
c) Mihin kysymykseen vastaa koodi
> exists x in G : virit(x) = G;?
Mille seuraavista tutuista ryhmäesimerkeistä edellinen on
totta:
(Z6,+6)
(Z13,+13)
(Z20,+20)
(Z, +)
(Q, +)
(R, +)
(Z5\{0}, *5)
(Z13\{0}, *13)
(R\{0}, ·)
(S3, os)
(S4, os)
(D4, os)
(kierrot, os)
d) Mikä alkio x oli milloinkin kyseessä?
File translated from TEX by TTH,
version 1.96.
On 20 Oct 1999, 11:10.