ISETL-Harjoitus 7, 1999. Aliryhmät

Kopioi tiedostojen ryhma.ise ja joukot.ise uudet versiot WWW-sivulta
http://www.joensuu.fi/matemluonto/matematiikka/kurssit/algebra/Materiaalia/index.html
Lataa ne sitten ISETLW:n muistiin !include:lla. Tiedostoon joukot.ise on lisätty D4 permutaatiomuodossa. Tiedostoon ryhma.ise on lisätty potenssifunktio pot, jonka käyttö vaatii, että muistissa on joukko G ja siinä järkevästi määritelty laskutoimitus o, sekä neutraalialkio e ja käänteisalkioita laskeva funktio i; nämähän saa aikaan ryhmän nimeävällä proseduurillamme nimea_ryhma.

Tehtävä 1. Askartelua

Selvitä, mitä puuhataan seuraavassa:
>  P := pow(Z2); P; #P;
>  P := pow(Z3); P; #P;
>  P := pow(Z4); P; #P;
>  P := pow(Z5); #P;
>  P := pow(S3); #P;
>  arb(P); arb(P); arb(P); arb(P); arb(P); arb(P);
>  choose A in P : onko_ryhma(A,os);
>  kaanteis(S3,os,[3,2,1]);
>  choose A in P : onko_ryhma(A,os);
>  for A in P do
>>  if onko_ryhma(A,os) then print A; end if;
>>  end for;
>  D4;
>  onko_ryhma(D4,os);

Tehtävä 2. Aliryhmä

Määritelmä. Olkoon (G,°) ryhmä. Jos H Í G ja (H,°) on itsekin ryhmä, niin H on ryhmän G aliryhmä.

Tarkista (joko ISETLin avulla tai ilman), onko seuraavissa tapauksissa H ryhmän G aliryhmä. Mikäli ei, tutki miksi. Kussakin tapauksessa operoidaan H:ssa G:n laskutoimituksella, so. rajoittumalla joukkoon H.
    1) G : = Z20, H on joukon Z20 parilliset alkiot (ja laskutoimitus siis +20).
    2) G : = Z20, H : = {0,2,4,6,8}.
    3) G : = Z20, H : = {0,3,6,9}.
    4) G : = Z12, H : = {0,3,6,9}, laskutoimitus +12.
    5) G : = Z13\{0}, H Í G, laskutoimitus *13.
    6) G : = S4, H : = {[2,3,4,1],[4,3,2,1]}, laskutoimitus os.
    7) G : = S4, H : = {[1,2,3,4],[2,1,3,4]}.
    8) G : = D4, H on kiertojen joukko.
    9) G : = S4, H on niiden permutaatioiden joukko, jotka pitävät alkion 2 paikallaan.
    10) (VISETL) G : = Q, H : = Z, laskutoimitus +.
    11) (VISETL) G : = Q, H : = Q+.
    12) (VISETL) G : = R\{0}, H : = Q\{0}, kertolasku.

Mitä ryhmän määritelmän ehtoa ei tarvitse enää erikseen tarkistaa aliryhmätestauksessa? 


Tehtävä 3. Aliryhmän testausfunktio

a) Kirjoita funktio onko_aliryhma, jonka syötteenä ovat joukot H ja G sekä laskutoimitus o. Funktiosi tulee tarkistaa, onko H ryhmän G aliryhmä, ja ottaa huomioon edellä löydetty seikka, eli että kaikkia ryhmän määritelmän vaatimuksia ei tarvitse enää tarkistaa. Huomaa! subset-komento testaa 'osajoukkoutta'.
b) Etsi kaikki ryhmän (Z12, +12) aliryhmät. 
c) Etsi kaikki ryhmän (Z5\{0},*5) aliryhmät. 
d) Kaikkien äskeisten esimerkkien perusteella, näyttäisikö ryhmän kertaluvulla ja aliryhmän kertaluvulla olevan mitään yhteyttä? 

Tehtävä 4. Syklinen aliryhmä

a) Suorita komento nimea_ryhma(Z12,s12). Valitse jokin alkio a ryhmästä Z12. Muodosta ISETLin avulla joukko { ai \mid i Î Z }. Potenssien löytämiseksi käytä pot-funktiota. Muista, että ISETLissä ei voi antaa i:n olla mikä tahansa kokonaisluku, vaan se pitää rajata jollekin välille, esimerkiksi i in [-20..20].
Alkio a =        , joukko { ai \mid i Î Z } = 

Onko tämä joukko ryhmän Z12 aliryhmä? 
(vertaa Tehtävä 2).

Kokeile samaa jollekin toiselle alkiolle:
Nyt a =        , joukko { ai \mid i Î Z } = 


Se on / ei ole aliryhmä.


b) Tee sama ryhmässä S4.
Alkio a =        , joukko { ai \mid i Î Z } = 
Se on / ei ole aliryhmä.


c) Sama kuin edellä, mutta ryhmässä Z.
Alkio a =        , joukko { ai \mid i Î Z } = 
Se on / ei ole aliryhmä.


d) Sama kuin edellä, mutta ryhmässä (R\{0},·).
Alkio a =        , joukko { ai \mid i Î Z } = 
Se on / ei ole aliryhmä.

Tehtävä 5.

a) Mitä tekee seuraava funktio, kun oletetaan, että nimea_ryhma on suoritettu?
>  virit := func(g);
>    return {pot(g,n) | n in [-#G..#G]};
>  end func;
b) Suorita komento nimea_ryhma(Z12,s12).
Mitä on virit(4)
  Entä virit(3)
c) Mihin kysymykseen vastaa koodi
> exists x in G : virit(x) = G;?
Mille seuraavista tutuista ryhmäesimerkeistä edellinen on totta:
(Z6,+6
(Z13,+13
(Z20,+20
(Z, +) 
(Q, +) 
(R, +) 
(Z5\{0}, *5
(Z13\{0}, *13
(R\{0}, ·) 
(S3, os
(S4, os
(D4, os
(kierrot, os

d) Mikä alkio x oli milloinkin kyseessä?

File translated from TEX by TTH, version 1.96.
On 20 Oct 1999, 11:10.