ISETL-Harjoitus 8-9, 1999. Syklisyys, sivuluokat, normaalius
TÄMÄ PAPERI SISÄLTÄÄ MYÖS ENSI VIIKON ISETL-TEHTÄVÄT
(5-10). Palauttakaa ratkaisunne tehtäviin 5-10 ryhmittäin yhtenä
tiedostona ryhmannimi.ise vaikkapa sähköpostina
(Martti.Pesonen@Joensuu.Fi) viimeistään perjantaiaamuna 5.11.1999.
Kopioi taas tiedostojen ryhma.ise ja
joukot.ise uudet
versiot WWW-sivulta
http://www.joensuu.fi/matemluonto/matematiikka/kurssit/algebra/Materiaalia/index.html
Lataa ne sitten ISETLW:n muistiin !include:lla.
Tehtävä 1. Uusia funktioita
Tiedostoon joukot.ise on lisätty funktiot muotoa
Z := func(n); generoi minkä tahansa joukon Zn,
s := func(n); tuottaa minkä tahansa funktion +n,
k := func(n); tuottaa minkä tahansa funktion *n,
Tiedostoon ryhma.ise on lisätty funktiot muotoa
onko_aliryhma := func(H,G,o); viimekertainen, testaa onko
H joukon G aliryhmä operaation °
suhteen
kaikki_aliryhmat := func(G,o); palauttaa kaikkien aliryhmien
joukon
kaikki_ryhmat := func(G,o); palauttaa kaikki joukon G
ne osajoukot, jotka ovat operaation ° suhteen
ryhmiä
virit := func(g); viimekertainen alkion g virittämä
joukko
yhden_virittamat := func(G,o); palauttaa yhden alkion virittämät
osajoukot
Kaksi viimeistä edellyttävät nimea_ryhma-funktion
käyttöä!
a) Tutki edellisiä funktioita (muista !pp) ja suorita ajatuksella
käskyt
> !setrandom off
> Z(15);
> Z15 := Z(15); Z15;
> 5 .s(15) 13; $ havainto ?
> 5 .(s(15)) 13;
> s15 := s(15);
> 5 .s15 13;
> k15 := k(15);
> 5 .k15 8;
>
> onko_ryhma(Z15,s15);
> nimea_ryhma(Z15,s15); G; e; 5 .o 13; i(9);
> virit(4); virit(3);
> yhden_virittamat(G,o);
> kaikki_aliryhmat(G,o); $ K\"{a}yt\"{a} vain "pienille" joukoille #G < 17.
> kaikki_ryhmat(G,o); $ K\"{a}yt\"{a} vain "pienille" joukoille #G < 17.
>
> onko_ryhma(Z15-{0}, k15);
b) Vaikka joukko (Z15\{0}, *15)
ei olekaan ryhmä, voidaan sen osajoukoista löytää ryhmiä.
Mitä
ryhmiä ja näiden aliryhmiä siihen sisältyy?
Laajin ryhmä:
Sen aliryhmiä:
Muita ryhmiä:
Tehtävä 2. Syklisiä?
Yhden alkion virittämää ryhmää ágñ
kutsutaan sykliseksi.
a) Muodosta seuraavien parien kaikki aliryhmät sekä
tutki
mitkä ovat syklisiä ja mitkä ovat niiden virittäjäalkiot.
Muista aina ensin nimetä ryhmä, mikäli käytät
ISETL:n funktioita
pot, virit tai yhden_virittamat!
(Z13,+13)
virittäjä(t):
(Z14,+14)
virittäjä(t):
(Z17\{0},*17)
virittäjä(t):
(S3,os)
virittäjä(t):
(D4,os)
virittäjä(t):
(kierrot,os)
virittäjä(t):
b) Mitkä tehtävän 1 b)-kohdassa esiin tulleista
ryhmistä ovat syklisiä?
Tehtävä 3. Sivuluokat
Määritelmä. Olkoon (G,°)
ryhmä, H ryhmän G aliryhmä, ja a Î
G. Alkion a määräämä oikeanpuoleinen
sivuluokka modulo H on joukko
| Ha = H°a
: = { h°a \mid h Î
H }. |
|
Vastaavasti alkion a määräämä vasemmanpuoleinensivuluokka
modulo H on joukko
| aH = a°H
: = { a°h \mid h Î
H }. |
|
a) Ryhmänä on (Z12,+12) ja
aliryhmänä H : = {0,4,8}. Sivuluokkia ovat
H+0 =
H+1 =
H+2 =
H+3 =
H+4 =
H+5 =
H+6 =
H+7 =
H+8 =
H+9 =
H+10 =
H+11 =
Erilaisia sivuluokkia on kpl, aliryhmän
kertaluku on , ryhmän kertaluku on
.
b) Ryhmänä on (Z31,*31).
Talleta
joukko muuttujaan Z31 ja laskutoimitusfunktio nimelle k31
(ks. Tehtävä 1). Suorita sitten komento nimea_ryhma(Z31-{0},k31);.
Etsi alkion 23 virittämä syklinen aliryhmä pot-funktion
avulla ja talleta se muuttujaan H.
H =
Etsi kaikki oikeanpuoleiset sivuluokat modulo H:
Erilaisia sivuluokkia on kpl, aliryhmän
kertaluku on , ryhmän kertaluku on
.
c) Jos ryhmän G kertalukua merkitään o(G)
ja aliryhmän H kertalukua o(H), niin Millainen
yhtälö näyttäisi vallitsevan ryhmän kertaluvun,
aliryhmän kertaluvun ja sivuluokkien lukumäärän välillä?
Listaa tähän havaintoja oikeanpuoleisiin sivuluokkiin modulo
H liittyen.
Tehtävä 4. Funktio PR
a) Jos meillä on laskutoimitus °
joukossa G, niin voimme muodostaa yleistetyn laskutoimituksen
°° seuraavasti:
1) Jos s,t Î G
ovat alkiota, niin s °°
t : = s°t.
2) Jos S Í G on joukko
ja t Î G on alkio, niin
S °° t : = { x°t
| x Î S }.
3) Määrittele vastaavasti joukko s °°
T. Se on s °° T
: = {
}.
4) Jos S,T Í G
ovat molemmat joukkoja, niin S °°
T : = {x°y | x
Î S, y Î
T}.
Mikä tapaus näistä oli kyseessä edellisen tehtävän
sivuluokissa?
b) Laadi ISETL-funktio PR, jonka syötteenä
on joukko ja operaatio, ja joka palauttaa yleistetyn laskutoimitusfunktion.
Toisin sanoen funktiosi koodi alkaa näin
> PR := func(J,op);
> return func(s,t);
> if s in J and t in J then return s .op t; end;
> if s subset J and t in J then ...
c) Nyt määrittele °°
joukon Z12 yleistetyksi laskutoimitukseksi:
> oo := PR(Z12, s12);
Voit nyt käyttää sitä tavalliseen tapaan komennolla
T .oo S. Tässä T ja S voivat olla
joko joukkoja tai alkioita.
Testaa nyt laskutoimitusta °°
joukossa Z12:
> {0,3,4} .oo 2 =
> 3 .oo {0,1,5,6,7,8} =
> 3 .oo 4 =
> {0,1,2} .oo {4,5,6} =
Miten saat tämän uuden yleistetyn laskutoimituksen
°° avulla laskettua tehtävän
3.a) sivuluokan H+2?
Tehtävä 5. Aliryhmiä ja sivuluokkia
a) Suorita komento oo := PR(S4,os). Tarkastellaan nyt ryhmää
S4. Talleta nimelle T niiden permutaatioiden
joukko, jotka pitävät nelosen paikallaan. Onko T ryhmän
S4 aliryhmä?
Etsi sivuluokka T°[2,4,3,1] yleistetyn
laskutoimituksen °° avulla.
Onko tämä sama kuin [2,4,3,1]°T?
Etsi jokin toinen permutaatio s joukosta S4,
jolle Ts ¹ sT. Löysimme,
että s =
b) Tutki, onko seuraavissa tapauksissa voimassa ehto Hg
= gH kaikille g Î G:
1. G : = S4, H : = á[4,2,3,1]ñ.
Aloita tämä seuraavilla komennoilla:
oo := PR(S4,os);nimea_ryhma(S4,os);
2. G : = S3, H on se S3:n
aliryhmä, jossa on kolme alkiota.
3. G : = S3, H : = {[1,2,3],[1,3,2]}.
4. G : = Z20, H on mikä tahansa
Z20:n ei-triviaali aliryhmä.
Ainakin seuraavat tehtävät tulee jättää
toiselle viikolle!
Tehtävä 6. Aliryhmän nimeäminen
Kopioi tiedostot verkosta (ks. sivu 1). Tiedostoon ryhma.ise tullaan
lisäämään funktio PR ja nimea_ryhma-ohjelmaan
tehdään muutoksia: voit kirjoittaa entiseen tapaan nimea_ryhma(Z20,s20);
tai asettaa kolmanneksi aliryhmän:
> nimea_ryhma(Z20, s20, {0,5,10,15});
Katso muuttujien H ja GmodH arvot ja laske
Ho(2);
ja Ho(3);
Tehtävä 7. Sivuluokkaoperaatioita
Tutkitaan ryhmän Z20 aliryhmän H : =
{0,5,10,15} sivuluokkia (jo edellä nimetty).
a) Katso, millaisia ovat sivuluokat modulo H komennolla
GmodH;. Muista, että H+2 on nyt Ho(2) eli
kahden määräämä oikeanpuoleinen sivuluokka modulo
H.
G mod H =
b) Laske .oo-laskutoimituksen avulla kahden oikeanpuoleisen
sivuluokan summia, ja tarkasta, tuleeko niistä yhä jokin sivuluokka
vai ei.
Mitä ovat
Ho(2) .oo Ho(3);
Ho(0) .oo Ho(5);
Ho(3) .oo Ho(4);
Ho(7) .oo Ho(8);
c) Onko b)-kohdan esimerkeille voimassa
Ho(a) .oo Ho(b)
= Ho(a .o b)?
d) Entä onko sama voimassa kaikille a,b Î
G?
e) Tutki funktiolla onko_ryhma, muodostavatko sivuluokkien
joukko G mod H ja yleistetty laskutoimitus °°
ryhmän.
Tehtävä 8. Normaali aliryhmä, testausfunktio
Sivuluokkien joukko G mod H on ryhmä, jos aliryhmä
H on
normaali, eli jos kaikille g Î
G on voimassa gH = Hg (oikean- ja vasemmanpuoleiset
sivuluokat samoja). Kirjoita funktio onko_normaali, jonka syötteenä
on aliryhmä ja ryhmä ja joka tarkistaa, onko aliryhmä normaali.
Tehtävä 9. Jäännösluokat G/H
Nimeä ryhmä (Z13\{0},*13)
ja sen aliryhmä á5ñ.
Sivuluokat ovat:
Onko sivuluokkien joukko G mod H ja yleistetty laskutoimitus
°° ryhmä?
Täytä laskutoimitustaulukko:
|
{1,5,8,12} |
{4,6,7,9} |
{2,3,10,11} |
| {1,5,8,12} |
{1,5,8,12} |
|
|
| {4,6,7,9} |
|
|
|
| {2,3,10,11} |
|
|
|
Tehtävä 10. Sivuluokat aina ryhmiä?
Tarkasta, että H : = {[2,4,1,3],[3,1,4,2],[4,3,2,1],[1,2,3,4]}
on ryhmän (S4,os) aliryhmä, ja nimeä
ne nimea_ryhma:lla.
a) Laske Ho([4,1,2,3]) .oo Ho([4,2,3,1]);
Onko se jokin oikeanpuoleisista sivuluokista modulo H?
b) Onko aliryhmä H normaali?
File translated from TEX by TTH,
version 1.96.
On 29 Oct 1999, 15:36.