ISETL-Harjoitus 10, 1999. Homomorfismeista

Kopioi taas tiedostojen ryhma.ise ja joukot.ise uudet versiot WWW-sivulta

http://www.joensuu.fi/matemluonto/matematiikka/kurssit/algebra/Materiaalia/index.html

Lataa ne sitten ISETLW:n muistiin !include:lla.
Näissä harjoituksissa tulemme käsittelemään kuvauksia ryhmästä ryhmään. Tätä varten tiedostoon ryhma.ise on lisätty koodi nimea_ryhma', joka on muuten samanlainen kuin nimea_ryhma, mutta se nimeää ryhmän ja aliryhmän alkiot 'pilkullisiksi', eli esimerkiksi se tallettaa ryhmän neutraalialkion muuttujaan e'.

Palauta mieleen funktion määritelmä. Edelleen, funktiota f: A® B sanotaan bijektioksi, jos se on

1. injektio, eli jos kaikille x, y Î A : x ¹ y  Þ  f(x) ¹ f(y),
2. surjektio, eli jos kaikille y Î B on olemassa x Î A siten, että f(x) = y, ts. jos {f(x) | x Î A} = B.

Tehtävä 1. Koodiarvoituksia

Käy läpi alla oleva koodi ISETLissä. Mitä näyttäisivät tekevän funktiot testi1 ja testi2? 
>       f := func(x);
>>      if x in {0,1,2} then return x+1; end if;
>       end func;
>       testi1 := func(f,A,B);
>>        return (forall x in A: is_defined(f(x))) and
>>                  (forall x in A: f(x) in B);
>>      end func;
>
>       A := {0,1,2,3};
>       B := {0,1,2,3,4};
>       testi1(f,A,B);
>       testi1(f,A-{3},B-{1});
>       testi1(f,A-{3},B);
>
>       testi2 := func(f,A,B);
>>      if testi1(f,A,B) then
>>      return
>>      (forall x,y in A: ((x /= y) impl (f(x) /= f(y)))) and
>>      {f(x)|x in A} = B;
>>      end if;
>>      end func;
>  
>       testi2(f,A,B);
>       testi1(f,A,B);
>       testi2(f,A-{3},B);
>       testi2(f,A-{3},B-{0,4});
ISETL-funktio testi1: 
ISETL-funktio testi2: 
Löydätkö funktioista parannettavaa?

Tehtävä 2. Homomorfismitesti

Oletetaan, että G ja G' on määritelty ajamalla nimea_ryhma ja  nimea_ryhma'. Kirjoita ISETL-funktio homomorfismiko, joka testaa ensin onko kyseessä matemaattisesti ottaen edes funktio (ks. tehtävä 1), ja jos on, palauttaa arvon true tai false sen mukaan, päteekö homomorfisuusehto
f(a°b) = f(a)°¢f(b)
kaikille a,b Î G. Voit tehdä 'riisutun mallin', joka saa syötteenään pelkästään ISETL-funktion f, kunhan käytettäessä pidetään huolta, että lähtöjoukko G ja maali G¢ sekä vastaavat operaatiot ° ja °¢ ovat kulloinkin oikein nimetyt.
Tutki sitten, määrittelevätkö seuraavat funktiot homomorfismin ryhmien välille.
a) f:Z12® Z12, f(x) : = 3x  mod 12 
b) g:Z12® Z12, g(x): = x +12 3 
c) h:Z20® Z5, h(x) : = x  mod 5 
d) u:Z20® Z7, u(x): = x  mod 7 
e) s on funktio Z20:n aliryhmältä á4ñ ryhmälle Z5, s(x) : = 4x  mod 5 
f) t on funktio Z20:n aliryhmältä á4ñ ryhmälle Z5, t(x) : = 5x  mod 5 
g) j: S3 ® S3, j(p) : = [2,3,1] °p
h) k: S3 ® S3, k(p) : = [2,3,1] °[3,1,2] 
i) l:S3® S3, l(p) : = apa-1, missä a on mikä tahansa joukon S3 permutaatio. 
j) F:S3® S3, F(p) : = [1,2,3] 
k) O:S3® S3, O(p) : = [1,3,2] 
l) H:S3® Z20, H(p) : = 0 
m) U:Z® Z, U(z) : = 7z
n) T:Z® Z, T(z): = 7z + 2 

Tehtävä 3.

Kirjoita ISETL-funktio isomorfismiko, jonka syötteenä on funktio f ja joka tarkistaa, onko f sekä homomorfismi että bijektio. Voit olettaa, että f on funktio joukolta G joukolle G', eli että sekä nimea_ryhma että nimea_ryhma' on ajettu.
Mitkä tehtävän 2 homomorfismeista ovat isomorfismeja?

a) f:Z12® Z12, f(x) : = 3x  mod 12 

b) g:Z12® Z12, g(x): = x +12 3 
c) h:Z20® Z5, h(x) : = x  mod 5 
d) u:Z20® Z7, u(x): = x  mod 7 
e) s on funktio Z20:n aliryhmältä á4ñ ryhmälle Z5, s(x) : = 4x  mod 5 
f) t on funktio Z20:n aliryhmältä á4ñ ryhmälle Z5, t(x) : = 5x  mod 5 
g) j: S3 ® S3, j(p) : = [2,3,1] °p
h) k: S3 ® S3, k(p) : = [2,3,1] °[3,1,2] 
i) l:S3® S3, l(p) : = apa-1, missä a on mikä tahansa joukon S3 permutaatio 
j) F:S3® S3, F(p) : = [1,2,3] 
k) O:S3® S3, O(p) : = [1,3,2] 
l) H:S3® Z20, H(p) : = 0 
m) U:Z® Z, U(z) : = 7z
n) T:Z® Z, T(z): = 7z + 2 

File translated from TEX by TTH, version 1.96.
On 12 Nov 1999, 13:51.