ISETL-Harjoitus 11, 1999. Homomorfismi (jatkoa). Rengas

Kopioi taas tiedostojen ryhma.ise ja joukot.ise uudet versiot WWW-sivulta
http://www.joensuu.fi/matemluonto/matematiikka/kurssit/algebra/Materiaalia/index.html
Lataa ne sitten ISETLW:n muistiin !include:lla.

Tehtävä 1. Askartelua

a) Tutki käskyllä !pp funktioiden funktioko, bijektioko, homomorfismiko ja isomorfismiko koodia ja toimintaa. Mitä ne palauttavat, jos parametrina annettava sääntö ei ole matemaattisesti ottaen funktio? 
Mitä tekee funktio pot' ? 
b) Mitä etsitään seuraavassa?  
>       !setrandom off
>       nimea_ryhma(Z6, s6);
>       nimea_ryhma'(Z7-{0}, k7);
>       G; #G;   G'; #G';
>
>       f := |k -> k+1|;
>       {f(x) | x in G};
>       bijektioko(f,G,G');
>       homomorfismiko(f);              $ Oliko ryhmät nimetty oikein?
>       f(3 .o 4);
>       f(3) .o' f(4);
>
>       [5**k mod 7| k in [0..5]];
>       g := |k -> (5**k) mod 7|;
>       {g(x)| x in G};
>       isomorfismiko(g);               $ Oliko ryhmät nimetty oikein?
>       [[k,g(k)] | k in [0..5]];
Mitä vikaa oli funktiossa f? 
Onkohan muita isomorfismeja kuin g ryhmästä (Z6,+6) ryhmään (Z7\{0},*7)? 

Tehtävä 2. Etsitään isomorfismeja

Muodosta jokin isomorfismi h ryhmien (Z10,+10) ja (Z11\{0},*11) välille:
x 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
h(x)  1 

Voit käyttää apuna ISETL-koodia 

>       nimea_ryhma(Z(10),s(10)); G;
>       nimea_ryhma'(Z(11)-{0},k(11)); G';
>       yhden_virittamat'(G',o');
>       {a | a in G-{0}: {pot'(a,k)| k in G} = G'};
>       f := |k -> pot'(2,k) mod 11|;
>       [[k,f(k)] | k in [0..10]];

Tehtävä 3. Homomorfismin ydin

Oletetaan, että G ja G' on määritelty ajamalla nimea_ryhma ja nimea_ryhma'. Kirjoita ISETL-funktio ydin, joka saa syötteinään funktion f. Sen tulee palauttaa niiden joukon G alkioiden joukko, jotka f kuvaa ryhmän G' neutraalialkiolle.
Etsi sitten seuraavien homomorfismien ytimet:

a) f:Z12® Z12, f(x) : = 3x  mod 12 

b) h:Z20® Z5, h(x) : = x  mod 5 
c) s on funktio Z20:n aliryhmältä á4ñ ryhmälle Z5, s(x) : = 4x  mod 5 
d) t on funktio Z20:n aliryhmältä á4ñ ryhmälle Z5, t(x) : = 5x  mod 5 
e) l:S3® S3, l(p) : = apa-1, missä a on mikä tahansa joukon S3 permutaatio 
f) F:S3® S3, F(p) : = [1,2,3] 
g) U:Z® Z, U(z) : = 7z

Tehtävä 4. Osittelulait

Tarkastellaan nyt joukkoja, joissa on määritelty kaksi laskutoimitusta. Tavallisessa aritmetiikassa on olemassa sekä kerto- että yhteenlaskua koskevat ns. osittelulait: kaikille a,b,c ÎR pätee
a(b+c) = ab + ac    ja    (a+b)c = ac + bc.
a) Kirjoita funktio ositteluko, jonka syötteenä on joukko R ja kaksi laskutoimitusta s ja k, joista ensimmäistä kutsumme yhteenlaskuksi ja toista kertolaskuksi. Funktiosi pitää palauttaa true tai false sen mukaan, ovatko osittelulait voimassa.
b) Ovatko osittelulait voimassa systeemeissä
(Z5,+5,*5) 
(Z5,*5,+5) 
(Z12,+12,*12) 
c) Keksi kaksi laskutoimitusta joukossa Z6, joille ositteluko palauttaa arvon false.
Eka on °: 
toka on *: 

Tehtävä 5. Rengas

Määritelmä. Kolmikko (R,+,·) on rengas, jos
(i) pari (R,+) on Abelin ryhmä,
(ii) laskutoimitus · on liitännäinen,
(iii) osittelulait: kaikille a,b,c ÎR on voimassa a (b+c) = a b + a c  ja  (a+b) c = a c + b c

a) Kirjoita funktio onko_rengas, jonka syötteenä on joukko R ja kaksi laskutoimitusta s ja k, ja joka tutkii, onko kolmikko (R,s,k) rengas.
b) Selvitä mitkä seuraavista kolmikoista ovat renkaita:
(Z6,+6,*6)  (Z11,+11,*11)
(Z11,+8,*8)  (Z11\{0},*11,+11) 
(N,+,·)  (Z,+,·) 
(2Z,+,·) (parilliset)  (Z \ 2Z,+,·) (parittomat)
(Q,+,·)  (R,+,·)
(C,+,*)  (2×2-matriisit,+,*)

File translated from TEX by TTH, version 1.96.
On 17 Nov 1999, 11:50.