ISETL-Harjoitus 13, 1999. Kokonaisalue, kunta, ideaali
Kopioi taas tiedostojen ryhma.ise ja
joukot.ise uudet
versiot WWW-sivulta
http://www.joensuu.fi/matemluonto/matematiikka/kurssit/algebra/Materiaalia/index.html
Lataa ne sitten ISETLW:n muistiin !include:lla.
Talleta tiedostoasi tavan takaa, sillä ISETL on nyt
tilttaillut, monella ryhmällä esimerkiksi Tehtävässä
2.
Tehtävä 1. Askartelua
Tukiskellaan sivuluokkien säilymistä renkaan kertolaskun suhteen.
a) Suorita seuraavat käskyt ajatuksella ja kerro mitä
niissä haetaan:
> !setrandom off
> Z12;
> S := {0,4,8};
> onko_alirengas(S,Z12,s12,k12);
> nimea_ryhma(Z12,s12,S);
> GmodH;
> Ho(4 .k12 8); Ho(2 .k12 9);
> forall a,b in Z12: ({x .k12 y | x in Ho(a), y in Ho(b)} in GmodH);
Tässä sivuluokkien tulo oli sivuluokka
Tosi Epätosi
b) Entä seuraavassa:
> matrengas(Z3,s3,k3);
> nimea_rengas(MR,Ms,Mk);
> T := {nolla,yksi,[[2,0],[0,2]]}; T;
> onko_aliryhma(T,MR,Ms);
> onko_alirengas(T,MR,Ms,Mk);
> nimea_ryhma(MR,Ms,T);
> #G; e; H;
> GmodH;
> #GmodH; arb(GmodH);
>
> sivu1 := Ho(arb(MR)); sivu1; sivu1 in GmodH;
> sivu2 := Ho(arb(MR)); sivu2; sivu2 in GmodH;
> tulo := {A .Mk B | A in sivu1, B in sivu2}; tulo; tulo in GmodH;
Tässä sivuluokkien tulo oli sivuluokka
Tosi Epätosi
Tehtävä 2. Ideaalin määritelmä
Olkoon R rengas ja I sen alirengas. Silloin I on ryhmän
R normaali aliryhmä.
Kun haluamme, että (yhteenlaskun suhteen muodostettujen) sivuluokkien
tulo on taas sivuluokka, pitää siis olla enemmän kuin alirengas.
Osoittautuu, että sopiva ehto on se, että alirengas ''imee''
tulot seuraavalla tavalla:
Kaikilla a Î I, r Î
R on ar Î I ja ra Î
I.
a) Muodosta ISETL-funktio onko_ideaali(S,R,yht,kert), joka
palauttaa totuusarvona tiedon, onko S ideaali. Yhdistä siis
alirengastesti ja yllä oleva ehto. Palauttakoon funktiosi arvon OM,
jos kyseessä ei olekaan alirengas.
b) Kokeile funktiotasi:
> onko_ideaali({0,4,8},Z12,s12,k12);
> onko_ideaali({0,5,8},Z12,s12,k12);
>
> matrengas(Z3,s3,k3);
> nimea_rengas(MR,Ms,Mk);
> onko_ideaali({nolla},R,Rs,Rk);
> T1 := {[[a,a],[0,0]] | a in Z3}; T1;
> T2 := {[[a,0],[0,b]] | a,b in Z3}; T2;
> T4 := {nolla,yksi,[[2,0],[0,2]]}; T4;
> T5 := {[[a,b],[0,c]] | a,b,c in Z3}; #T5;
> onko_ideaali(T1,R,Rs,Rk);
> onko_ideaali(T2,R,Rs,Rk);
> onko_ideaali(T4,R,Rs,Rk);
> onko_ideaali(T5,R,Rs,Rk);
>
> matrengas(Z4,s4,k4); #MR;
> T := {[[a,b],[c,d]] | a,b,c,d in {0,2}}; #T;
> onko_ideaali(T,MR,Ms,Mk);
Mitkä olivat ideaalieja?
Tehtävä 3. Rengashomomorfismeista
a) Renkaidenkin yhteydessä voidaan puhua isomorfismeista ja
homomorfismeista. Olkoot (R,+,·) ja (R¢,Å,\odot
) renkaita, ja olkoon f:R®
R¢. Mikä voisi olla
rengashomomorfismin määritelmä?
Entä rengasisomorfismin?
b) Tiedostoon ryhma.ise on lisätty proseduuri
nimea_rengas', joka on analoginen komennon nimea_ryhma'
kanssa. Tee ISETL-funktio rhomomorfismiko, jonka syötteenä
on funktio f ja joka olettaa, että olet ajanut komennot
nimea_rengas ja nimea_rengas', ja joka tutkii, onko funktio
f rengashomomorfismi.
c) Millaisia olivat ryhmien tapauksessa homomorfismit h:
Zn® Zk?
d) Testaa, toimivatko ne myös rengashomomorfismeina.
Tehtävä 4. Lisää askartelua
a) Suorita seuraavat käskyt ajatuksella ja kerro mitä
niissä haetaan:
> !setrandom off
> nimea_rengas(Z12,s12,k12);
> R; nolla; yksi; 8 .Rs 7; 8 .Rk 7; vasta(5);
> forall a,b in R: (a /= nolla) and (b /= nolla) impl a .Rk b /= nolla;
> choose a,b in R: (a /= nolla) and (b /= nolla) and a .Rk b = nolla;
> choose a,b in R: (a /= nolla) and (b /= nolla) and a .Rk b = nolla;
>
> nimea_rengas(Z13,s13,k13);
> forall a,b in R: (a /= nolla) and (b /= nolla) impl a .Rk b /= nolla;
Koodissa etsitään
Systeemissä (Z12,+12,*12)
niitä ovat esimerkiksi
Ei ole
Systeemissä (Z13,+13,*13)
niitä ovat esimerkiksi
Ei ole
b) Mitä tekee seuraava funktio, kun sille annetaan parametrina
joukko J ja kaksi laskutoimitusta?
> ZD := func(J,yht,kert);
>> local Jnolla;
>> Jnolla := neutraali(J,yht);
>> return
>> {[a,b] | a,b in J:
>> (a /= Jnolla) and (b /= Jnolla) and a .kert b = Jnolla};
>> end func;
Mitkä seuraavista palauttavat tyhjän joukon?
> ZD(Z13,s13,k13); ZD(Z12,s12,k12); ZD(Z13,s12,k13); ZD(Z13,s13,k12);
Tehtävä 5. Liekö nollantekijöitä?
a) Kirjoita funktio onko_nollantekijoita, joka saa parametrina
joukon ja kaksi laskutoimitusta (normaalissa järjestyksessään),
ja palauttaa arvon true tai false sen mukaan onko systeemissä
nollantekijöitä. Funktiosi palauttakoon arvon OM, jos
ensimmäisen laskutoimituksen suhteen ei löydy neutraalialkiota.
b) Testaa funktiotasi systeemeillä (Z12,+12,*12)
ja (Z13,+13,*13).
Rengaassa (Z12,+12,*12)
on nollantekijöitä
Tosi Epätosi
Renkaassa (Z13,+13,*13)
on nollantekijöitä
Tosi Epätosi
Tehtävä 6. Kokonaisalue?
a) Kirjoita funktio onko_kokonaisalue, joka tarkastaa onko
annettu systeemi (R,+,·) kokonaisalue. Voit käyttää
valmiita funktioita onko_rengas jne
b) Tarkista, ovatko seuraavat kokonaisalueita:
Rengas (Z12,+12,*12)
On Ei
Rengas (Z13,+13,*13)
On Ei
c) Tutki, voidaanko renkaasta (Z12,+12,*12)
saada kokonaisalue poistamalla sopivat alkiot.
Mitkä vähintäin on poistettava?
Millaisen kokonaisalueen saat?
Vihje. Voit tutkia vaikkapa aluksi koodia
> EINTZ12 :=
>> Z12 - {a | a in Z12-{0}:
>> (exists b in Z12-{0}: a .k12 b = 0)}; EINTZ12;
> suljettuko(EINTZ12,k12);
> suljettuko(EINTZ12,s12);
Tehtävä 7. Supistussäännöt, yhtälö
Tutki taas renkaita (Z12,+12,*12)
ja (Z13,+13,*13).
a) Onko renkaan yhtälöissä luvallista ''jakaa''
yhtälö puolittain nollasta poikkeavalla luvulla?
Matemaattis-loogisella kielellä: onko kaikille a,x,y
Î R totta
b) Millaisilla yhtälöillä ax = b
on noissa renkaissa yksikäsitteiset ratkaisut?
Renkaassa (Z12,+12,*12)
Renkaassa (Z13,+13,*13)
Tehtävä 8. Kunta
a) Muodosta funktio onko_kunta, joka tutkii onko annettu
systeemi kunta (noudata samoja periaatteita kuin edellisissäkin).
b) Tutki mitkä edellä käsitellyistä rengassysteemeistä
ovat kuntia.
Kuntia ovat:
File translated from TEX by TTH,
version 1.96.
On 3 Dec 1999, 11:10.