Algebra, testi 1, 12.10.1999

Merkitse kunkin kohdan vasemmalle puolelle T (= tosi) tai E (= epätosi).

1. Mitkä ovat totta?
a) -27 mod 4 = 3
b) (3k²-k+2) mod k = 2, kun k ³ 3
c)  syt(90,108) = 9
d)  syt(2n,2n+3) ei koskaan voi olla 5

2. Tiedetään, että a-2 º b (mod m). Silloin
a) (b+2) º a (mod m).
b) m | (b-a+2).
c) m | (a-b-2).
d) a²-4 º b² (mod m).

3. Tarkastellaan kongruenssiluokkia modulo m. Jos k Î [a], niin
a) [a] = [a+k].
b) [a] = [a+m].
c) a mod m = k mod m.
d) k+m º a (mod m).

4. Olkoon p alkuluku. Silloin
a) kaikille a Î N pätee a\nmid p.
b) jos p | 7a, niin p | a.
c)  syt(p,a) on p tai 1 kaikille a Î Z.
d) jos  syt(p,a) = p, niin kongruenssiyhtälöllä ax º b (mod p) ei ole lainkaan ratkaisuja.

5. Seuraavat operaatiot ° ovat laskutoimituksia esiintyvässä joukossa:
a) Joukko N, operaatio a°b : = 2a-b
b) Joukko NÈ{0}, operaatio a°b : = (2a-b) mod 3
c) Joukko {1,2,3,4,5,6}, operaatio a°b : = min(a,b)
d) Joukko {2,3,4,5,6}, operaatio a°b : =  syt(a,b)

6. Seuraavat operaatiot ° ovat liitännäisiä esiintyvässä joukossa:
a) Joukko Z, operaatio a°b : = ab + a + b
b) Joukko Z, operaatio a°b : = 2a+b
c) Joukko {1,2,3,4,5,6}, operaatio a°b : = max(a,b)
d) Joukko {1,2,3,4}, operaatio a°b : =  syt(a,b).