Algebra, testi 2, 2.11.1999

1. Jos ryhmän laskutoimitus ° ei ole vaihdannainen, on kaikilla neutraalialkiosta poikkeavilla pareilla a ° b ¹ b ° a.
2. Ryhmällä voi olla useita neutraalialkioita.
3. Kaikki enintään kolmen alkion ryhmät ovat Abelin ryhmiä.
4. Ryhmä voi sisältää osajoukkonaan ryhmän, jolla on eri neutraalialkio kuin itse ryhmällä.
5. Jokaisessa ryhmässä on ainakin kaksi alkiota, jotka ovat itsensä käänteisalkioita.
6. Kahden ryhmän leikkaus on ryhmä.
7. Olkoon G joukko ja ° siellä liitännäinen laskutoimitus. Jos H Í G ja (H, °) on ryhmä, niin myös (G, °) on ryhmä.
8. Aliryhmän alkioilla on samat käänteisalkiot kuin itse ryhmässä lasketut.
9. Ryhmä on syklinen, jos sen jokainen aliryhmä on syklinen.
10. Ryhmässä on jokaisella yhtälöllä x² = a ainakin yksi ratkaisu.
11. Z₃₁ varustettuna yhteenlaskulla modulo 31 on syklinen Abelin ryhmä, jonka virittäjäksi käy sen jokainen neutraalialkiosta poikkeava alkio.
12. (Z₃₁\{0}, *₃₁) on ryhmän (Z₆₂\{0}, *₆₂) aliryhmä.

13. Ryhmässä (Z₁₄, +₁₄) on 5^-1  = 

---

14. Ryhmässä (Z₁₃\{0}, *₁₃) on 7 *₁₃ 9  = 

---

15. Ryhmässä (Z₁₃\{0}, *₁₃) on 5^-1  = 

---

16. Ryhmässä (Z₁₃\{0}, *₁₃) yhtälön 9 *₁₃ x = 2 ratkaisu on x  = 

---

17. Permutaatioryhmässä (S₄, °) yhtälön x ° [3,2,4,1] = [2,3,1,4] ratkaisu on x  = 

---

18. Ryhmässä (Z₂₄, +₂₄) alkion 6 virittämä aliryhmä á6ñ  = 

---