Algebra, testi 3, 23.11.1999

1. Jos ryhmän G laskutoimitus ° ei ole vaihdannainen, on kaikilla neutraalialkiosta poikkeavilla alkioilla a, b Î G, a ¹ b, myös a°H ¹ b°H.
2. Jos ryhmän G laskutoimitus ° ei ole vaihdannainen, on kaikilla neutraalialkiosta poikkeavilla alkioilla a Î G voimassa a°H ¹ H°a.


Olkoon H ryhmän (G,°) aliryhmä ja x,y Î G. Silloin on voimassa

3. Hx = Hy  Û  x = y.
4. Hx = Hy  Û  x°y Î H.
5. Hx ¹ Hy  Û  Hx ÇHy = Æ.
6. Sivuluokilla Hx ja yH on sama kertaluku.

 
7. Pariton määrä alkioita aiheuttaa sen, että ryhmällä ei ole muita aliryhmiä kuin triviaalit.
8. Normaalit aliryhmät ovat Abelin ryhmiä.
9. Jos ryhmä G on syklinen, ja f:G® G¢ on homomorfismi, niin G¢ on syklinen.
10. Jos (G,°) on ryhmä ja H sen aliryhmä, niin identtinen kuvaus id(x) : = x on homomorfismi H® G.
11. Jos f: G ® G¢ on homomorfismi, niin aliryhmän alkukuvajoukko on aina aliryhmä.
12. Isomorfismin ydin on aina pelkän neutraalialkion muodostama.

1. Ryhmässä (Z₁₄,+₁₄) on aliryhmän H : = {0,2,4,6,8,10,12} ja alkion 3 määräämä sivuluokka H +₁₄ 3 = 

   ---

2. Ryhmässä (Z₁₃\{0},*₁₃) on aliryhmän H : = {1, 5, 8, 12} ja alkion 3 määräämä sivuluokka H*₁₃ 3 = 

   ---

3. Permutaatioryhmässä (S₃,°) on aliryhmän H : = {[1,2,3], [2,1,3]} määräämä sivuluokka [3,2,1]°H = 

   ---

4. Muodosta isomorfismi permutaatioryhmän (S₄,°) kiertojen muodostaman ryhmän ja sopivan Z_n:n kanssa. 

   ---

5. Keksi ei-triviaali homomorfismi ryhmästä Z₁₂ ryhmälle Z₄. 

   ---

6. Ryhmälle (Z₂₄,+₂₄) on alkion 6 virittämän aliryhmän á6ñ määräämä tekijäryhmä =