Sana algebra tulee arabian sanasta al jabr, joka tarkoitti yhtälöitten sieventämistä lisäämällä sama termi yhtälön molemmille puolille. Sana tuli tutuksi kirjasta Hisab al-jabr w'al-muqabala, jonka Al-Khwarizmi kirjoitti 800-luvun alkupuolella. Tästä lähtien algebra tarkoitti yleensäkin yhtälöitten (erityisesti polynomiyhtälöitten), ja niitten ratkaisujen tutkimista.
1800-luvulla painopiste alkoi siirtyä yhtälön ratkaisusta yleisten "rakenteitten" analyysin: tällöin keksittiin muun muassa kvaterniot sekä Cliffordin ja Boolen algebrat, joitten ominaisuudet ja laskusäännöt poikkesivat siitä mihin rationaalilukujen ja polynomien kanssa oli totuttu.
1900-luvun alusta lähtien algebrasta tuli yhä abstraktimpaa (mikä oli suurelta osin Bourbakin syytä tai ansiota). Kuitenkin 1960-luvulta lähtien algebran tutkimus on mennyt konstruktiivisempaan suuntaan. Tähän on oleellisesti vaikuttanut tietokoneitten kehitys: halutun tuloksen saamiseksi tietokone täytyy ohjelmoida, ja ohjelmointi on mahdollista vain, jos on olemassa (päättyvä) algoritmi, joka ratkaisee tehtävän. Luonnollisesti samalle tehtävälle voi olla useitakin algoritmeja, jolloin edelleen on syytä analysoida algoritmin tehokkuutta, toisin sanoen sen vaatimaa laskenta-aikaa (ja usein myös muistitilan tarvetta).
Eräänlainen läpimurto polynomien laskennallisessa analyysissä tuli jo 1960-luvulla kun Hironaka ja Buchberger keksivät toisistaan riippumatta standardikannat eli Gröbnerin kannat, joilla polynomiyhtälöitä voidaan tehokkaasti tutkia. Erityisesti jokin Buchbergerin algoritmin muunnelma on lähes jokaisessa symboliseen laskentaan tarkoitetussa ohjelmistossa. Gröbnerin kannat ovat osoittautuneet hyödyllisiksi muun muassa robotiikassa, tiedon salauksessa ja kokonaislukuoptimoinnissa. Lisäksi polynomiyhtälöitä esiintyy osatehtävinä lähes kaikkialla matematiikassa ja sen sovelluksissa, joten ei liene yllättävää, että symbolisen laskennan käyttö on kasvanut tasaisesti viime aikoina.
Kurssilla on tarkoitus perehtyä yllämainittuihin Gröbnerin kantoihin, ja muihin polynomialgebran peruskäsitteisiin: renkaisiin, kuntiin ja ideaaleihin. Sovelluksista tarkastellaan jonkin verran ainakin robotiikkaa, sekä selvitellään ideaaliteorian geometristä merkitystä.
Kurssilla on tietokoneharjoituksia, jossa käytetään Singular ohjelmistoa. Tämä ei ole yleiskäyttöinen symbolinen ohjelmisto kuten Mathematica tai Maple, vaan se on nimenomaan suunniteltu polynomilaskentaan. Tämän takia se on myös huomattavasti tehokkaampi kuin yleiskäyttöiset ohjelmistot.
Eri ohjelmistoja on yritetty vertailla; joitain tuloksia löytyy seuraavista linkeistä: 1 , 2. Huomaa, että symboliset ohjelmistot kehittyvät edelleen varsin paljon, joten uudemmat versiot samasta ohjelmasta voivat pärjätä huomattavasti paremmin kuin vanhat. Lisää symbolisen laskennan linkkejä löytyy täältä.
Kurssilla lähdetään liikkeelle peruskäsitteistä, joten Algebran peruskurssin suorittamista ei vaadita esitietoina. Luonnollisesti peruskurssin taustatiedot helpottavat asioitten omaksumista.
Harjoitukset ovat salissa M352. Harjoitusajoista sovitaan
ensimmäisellä luennolla.
Harjoitukset:
Jukka Tuomela
jukka.tuomela@joensuu.fi
