4. Kuvauksen jatkuvuus riippuu topologiasta

Olkoot seuraavassa (X, T_{X}) ja (Y, T_{Y}) topologisia avaruuksia.

Määritelmä 4.1. Funktio f : X → Y on jatkuva pisteessä x ∈ X, jos jokaista avointa joukkoa V ∋ f(x) vastaa avoin joukko U ∋ x siten, että f(U) ⊂ V.

Funktio on jatkuva joukossa X, jos se on jatkuva joukon X jokaisessa pisteessä.

Esimerkki 4.2. Olkoon X topologinen avaruus ja Y varustettu minitopologialla {∅, Y }. Tällöin jokainen kuvaus f : X → Y on jatkuva, sillä jokaisella x ∈ X ainut avoin joukko, joka sisältää pisteen f(x), on Y. Lähtöavaruuden X topologiassa on perusjoukko X välttämättä avoin ja sille pätee x ∈ X sekä f(X) ⊂ Y.

Seuraava lause karakterisoi funktion jatkuvuuden:

Lause 4.3. Funktio F : X → Y on jatkuva, joss f^{−1}(V) on avoin X:ssä aina, kun V on avoin Y:ssä.

Todistus. Oletetaan ensin, että f on jatkuva. Olkoon V ⊂ Y avoin. Jos f^{−1}(V) = ∅, pitää väite paikkansa. Jos x ∈ f^{−1}(V) eli f(x) ∈ V, niin funktion f jatkuvuudesta seuraa, että on olemassa sellainen avoin joukko U(x) ∋ x, että f(U(x)) ⊂ V. Tällöin x ∈ U(x) ⊂ f^{−1}(V). Siis

f^{−1}(V) = ⋃_{x∈f^{−1}(V)}{x} ⊂ ⋃_{x∈f^{−1}(V)} U(x) ⊂ f^{−1}(V)

eli f^{−1}(V) on avoin avoimien joukkojen yhdisteenä.

Oletetaan toisaalta, että f^{−1}(V) on avoin aina, kun V on avoin. Olkoon x ∈ X mv. ja V ∋ f(x) avoin. Tällöin f^{−1}(V) on avoin ja

f^{−1}(V) ⊃ f^{−1}(f(x)) ∋ x

Lisäksi f (f^{−1}(V)) ⊂ V, joten jokaista avointa joukkoa V ∋ f(x) vastaa sellainen avoin joukko f^{−1}(V), että f (f^{−1}(V)) ⊂ V. Siis f on jatkuva. □

Esimerkki 4.4. Olkoon X = {a, b, c} varustettu topologialla T = {∅, {a}, X}. Tarkastellaan kysymystä, milloin kuvaus f : X → X on jatkuva. Lauseen 4.3 perusteella riittää tutkia, että maaliavaruuden avoimien joukkojen alkukuvat ovat avoimia. Siis kuvaus on jatkuva, jos alkukuvat

f^{−1}(∅), f^{−1}({a}), f^{−1}(X)

ovat avoimia. Ensimmäinen on tyhjä joukko (siis avoin) ja viimeinen on perusjoukko (avoin sekin). Kyseisessä topologiassa kuvaus joukolta itselleen on jatkuva, jos jokin seuraavista on totta:

• f^{−1}({a}) = ∅ (mikään alkioista ei kuvaudu alkiolle a)

• f^{−1}({a}) = {a} (a kuvautuu itselleen)

• f^{−1}({a}) = X (kaikki kuvautuvat alkiolle a)

Määritelmä 4.5. Joukon X osajoukko X′ voidaan varustaa indusoidulla topologialla:

A ⊂ X′ on avoin ⇔ A = B ∩ X′,

missä B on avoin avaruuden X topologiassa.