Elementtimenetelmä
Harjoitus 1.

1. Olkoon

u(x1,x2,x3)
=
x23 x3+sin(x1)+ 1
2
 x32+3x2
v(x1,x2,x3)
=
(x22+x1x3, x2 ex1,x1x2 5x32).
Laske
a) Ñu b) Ñ×v c) Ñ·v
d) Ñ×(Ñu) e) Ñ·(Ñ×v) f) Ñ·(Ñu)
g) Du h) Onko olemassa kuvausta f: R3 ® R siten, että v = Ñf?
i) Onko olemassa kuvausta g: R3 ® R3 siten, että v = Ñ×g?

2. Snellin laki sanoo, että

sina
sinb
 = c1
c2
 ,
missä
a = tulokulma
b = heijastuskulma
c1 = valon nopeus ennen heijastusta
c2 = valon nopeus heijastuksen jälkeen.
Johda tämä laki Fermat'n periaatteen avulla: Valo kulkee polkua joka minimoi kulkuajan.

3. Tarkastellaan tehtävän 1) kuvausta u. Mitä ovat sen kriittiset pisteet? Ovatko nämä minimejä, maksimeja vai satulapisteitä?

4. a) Anna esimerkki jatkuvasta funktiosta f: R® R siten, että inff = 0 mutta f > 0   " x.
b) Olkoon

J(y) = ó
õ		 1

0 
 [y(x)]2  dx,
J:V ® R, V = {y:[0,1] ® R| y jatkuva , y(0) = 0,y(1) = 1 }. Osoita, että infy Î V J(y) = 0 mutta J(y) > 0 " y Î V.