Elementtimenetelmä
Harjoitus 2.
1. Etsi seuraavien funktionaalien kriittiset funktiot
(extremals). Muodosta Eulerin yhtälö ja ratkaise se.
a)
| J(y) = |
ó
õ |
1
0
|
[y(x)3+3x2y¢(x)] dx, W = |
ì
í
î |
y Î
C1[0,1] |
ê
ê
ê |
y(0) = 0,y(1) = 2 |
ü
ý
þ |
|
|
b)
| J(y) = |
ó
õ |
p
0
|
[4y¢(x)2+2y(x)y¢(x)-y(x)2]
dx,W = |
ì
í
î |
y Î
C1[0,p], |
ê
ê
ê |
y(0) = 2,y(p) = 0 |
ü
ý
þ |
|
|
c)
| J(y) = |
ó
õ |
1
0
|
[(y¢(x)-x)2+2xy(x)]
dx,W = |
ì
í
î |
y Î
C1[0,1] |
ê
ê
ê |
y(0) = 1 |
ü
ý
þ |
|
|
2. Muotoile seuraava tehtävä ja ratkaise se: Etsi lyhin
polku origosta paraabelille y = x2-1.
3. Palkin taipumaa kuvaa seuraava tehtävä: Olkoon
| W = |
ì
í
î |
y Î
C2[0,1] |
ê
ê
ê |
y(0) = y¢(0) = y(1) = 0 |
ü
ý
þ |
. |
|
Etsi y Î W siten, että
| J(y) = |
ó
õ |
1
0
|
[y¢¢(x)2-F(x)y(x)]
dx |
|
minimoituu. y¢¢(x)2 kuvaa palkin
taipumisenergiaa ja F on palkkiin vaikuttava voima.
a) Mikä on tehtävän variaatiomuoto?
b) Etsi Eulerin yhtälö ja ratkaise se (kun F=vakio)
c) Tulkitse reunaehdot fysikaalisesti
d) Samat kysymykset tapauksessa
| W = |
ì
í
î |
y Î
C2[0,1] |
ê
ê
ê |
y(0) = 1,y¢(0) = 0 |
ü
ý
þ |
. |
|