Mikä on vastaava variaatio- ja minimitehtävä. Mistä avaruudesta
etsitään ratkaisuja u ja mikä on testifunktioavaruus?
2. Tarkista että seuraavat ovat normiavaruuksia
a)
V =
Rn, | x | =
n
å i = 1
| xi |
b)
V =
ì
í
î
f:[0,1]
® R
ê
ê
ê
f jatkuva ja f¢ jatkuva
ü
ý
þ
= C1[0,1],
|| f
|| =
max
0 £ x £ 1
{ | f(x) |,| f¢(x) | }
c)
V =
ì
í
î
f:[0,1]
® R
ê
ê
ê
ó
õ
1
0
| f(x) | < ¥
ü
ý
þ
,
|| f
||1 =
ó
õ
1
0
| f(x) | dx
d)
V =
l2(Z) =
ì
í
î
x = (¼,x-1,x0,x1,¼)
ê
ê
ê
¥
å k =
-¥
< ¥
ü
ý
þ
|| x
|| =
æ
è
¥
å k =
-¥
| xk
|2
ö
ø
1/2
3. Osoita, että
| x |1 =
n
å i = 1
| xi | ja |
x |¥ =
max
| xi |
ovat ekvivalentteja.
4.
ì
ï
í
ï
î
-u¢¢+ au
=
f,0 < x < 1
u(0) = u(1)
=
0
Näytä että ratkaisu ei ole yksikäsitteinen tietyillä a:n
arvoilla. Määritä kaikki sellaiset a:t.
5. Tarkastellaan lineaarikuvausta
K:L2[0,1] ® L2[0,1],
(Ku)(x) =
ó
õ
1
0
(1+x2y3)u(y)
dy.
Laske K:n normi. Miten vastaus muuttuu jos tulkitaan
K: C[0,1] ® C[0,1], ja
normina max-normi? Yritä ainakin antaa jokin yläraja normille
molemmissa tapauksissa.