Elementtimenetelmä
Harjoitus 4.

1. Luennolla todettiin, että

u(x) = ì
í
î
x-x2,
0 £ x £ 1/2
1/4,
1/2 £ x £ 1
on heikko ratkaisu tehtävälle
(*) ì
í
î
-u¢¢ = f,
0 < x < 1
u(0) = u¢(1) = 0
,f(x) = ì
í
î
2,
0 £ x < 1/2
0,
1/2 < x £ 1
Tarkista että annettu u toteuttaa tehtävää (*) vastaavan variaatiotehtävän.

2.Tarkista että H1[0,1]:n sisätulo

áu,v ñ = ó
õ		 1

0 
 (u¢v¢+uv)  dx
toteuttaa sisätulon aksioomat.

3. Olkoon

V = { u = H1[0,1] | u(0) = u(1) = 0 }
ja
b(u,v) = ó
õ		 1

0 
 x2 u¢(x)v¢(x)  dx.
a) Totea, että b on symmetrinen ja positiivinen, mutta ei elliptinen.
b) Olkoon Lv = ò01v(x)  dx. Osoita että variaatiotehtävällä
etsi u Î V siten, että b(u,v) = Lv "v Î V
ei ole ratkaisua. Vihje: mikä on vastaava Eulerin yhtälö?

4. Olkoon

V = { u Î H1[0,1] | u(0) = u(1) = 0 }
ja b:V ×V ® R,
b(u,v) = ó
õ		 1

0 
 [ c(x)u¢(x)v¢(x) + a(x)u(x)v(x) ]  dx.
a) Olkoon
0 < c1 £ c(x) £ c2,
0 £ x £ 1
0 < c3 £ a(x) £ c4,
0 £ x £ 1
Näytä että b on elliptinen.

b) Olkoon Lv = ò01 fv  dx. Mikä on variaatiotehtävää

etsi u Î V siten, että b(u,v) = Lv "v Î V
vastaava Eulerin yhtälö?