Elementtimenetelmä
Harjoitus 5.

1. Olkoon

P3 = ģ
ķ
ī		 p  ź
ź
ź		  p(x) = c0 + c1x + c2x2+c3x 3 ü
ż
ž
ja
S1
=
{x2-1, x3+6x-2, 2-x, x+5x3, 1+x+x2 }
S2
=
{x2+2x-x3, 3-4x, x3-5x-1, x2+1 }
Ovatko S1 ja S2 P3:n kantoja?

2. Tarkastellaan tehtävää

ģ
ļ
ķ
ļ
ī
-u¢¢+9u
=
5-5x, 0 < x < 1
u(0)
=
0
u¢(1)
=
-1/2
a) Mikä on tarkka ratkaisu?
b) Muotoile tahtävä variaatiotehtävänä
c) Olkoon S1 = {x,x2 }, S2 = {x3,x5 }, V1 = span(S1) ja V2 = span(V2). Laske numeerinen ratkaisu sekä V1:n että V2:n avulla. Miksi V1 antaa paremman tuloksen? Piirrä kuva.
d) Muotoile numeerinen tehtävä minimointitehtävänä ja totea että sen ratkaisussa päädytään samoihin yhtälöihin kuin kohdassa c).

3. Näytä että symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.

4. Olkoon

f1(x)
=
ģ
ķ
ī
2x,
0 £ x £ 1/2
1,
1/2 £ x £ 1
f2(x)
=
ģ
ķ
ī
0,
0 £ x £ 1/2
2x-1,
1/2 £ x £ 1
f3(x)
=
x, 0 £ x £ 1
f4(x)
=
ģ
ķ
ī
3x,
0 £ x £ 1/3
1,
1/3 £ x £ 1

a) Olkoon S3 = { f1, f2,f3 } ja S4 = { f2, f3, f4 }. Näytä että S3 on lineaarisesti riippuva ja S4 lineaarisesti riippumaton.
b) Ratkaise tehtävä 2 S4:n avulla. Piirrä kuva ja vertaa 2. tehtävän muihin ratkaisuihin.

5. Olkoon

įu,v ń = ó
õ		 1

0 
 (u¢v¢+9uv)  dx
ja tarkastellaan avaruutta V1 = span(S1) kuten tehtävässä 2. Löytyykö V1:lle sellainen kanta {v1,v2} että įv1,v2 ń = 0? Mitä etua tällaisesta kannasta olisi tehtävän ratkaisun kannalta?