Elementtimenetelmä
Harjoitus 6.

1. Olkoon vk:t kuten luentomonisteen sivulla 14 ja olkoon xk = kh. Laske massamatriisi tässä tapauksessa. Entä mikä matriisiksi tulee jos xk:t eivät ole tasavälein?

2. Tarkastellaan ominaisarvotehtävää

ì
í
î
-u¢¢+ u
=
lu
u(0) = u(1)
=
0
a) Laske ominaisarvot ja -funktiot
b) Muodosta jäykkyys- ja massamatriisit R ja M käyttäen vk:ta tasavälisessä tapauksessa kuten edellisessä tehtävässä.
c) Analysoi MATLABilla matriisien R ja M ominaisarvoja (komento eig). Matriisien muodostamisessa komento toeplitz on hyödyllinen. Kokeile eri n:n arvoja. Täyttääkö spektrit koko Gershgorinin lauseen salliman alueen?
d) Vertaa R:n spektriä alkuperäisen tehtävän spektriin.
e) Jos ominaisarvotehtävä muotoillaan variaatiotehtävänä niin päädytään yleistettyyn ominaisarvotehtävään
(*)    Rc = lMc.
Tämänkin voidaan laskea MATLABilla komennolla eig. Vertaa oikeaan tulokseen kuten d)-kohdassa.
f) Pohdi miksi tehtävää (*) ei kannata palauttaa perustehtäväksi
M-1Rc = lc.

3. Tarkastellaan tehtävää

ì
í
î
-u¢¢+ u = 200x7-10x
u(0) = 0,u¢(1) = -17
a) Mikä on tarkka ratkaisu? Ratkeaa myös Maplella
b) Ratkaise tehtävä numeerisesti MATLABilla käyttäen edelleen paloittain lineaarisia kantafunktioita; tutki virhettä numeerisesti eri h:n arvoilla (h,h/2,h/4,¼) käyttäen maksimi-, L2- ja H1-normia.