Elementtimenetelmä
Harjoitus 8.

1.

ì
ï
ï
í
ï
ï
î
-Du
=
f, x Î W
u
n
=
g, x Î G
Onko ratkaisua olemassa? Onko ratkaisu yksikäsitteinen? (Ohje: Greenin kaavat)

2. Greenin kaava tasossa kirjoitetaan usein

ó
õ

G 
 P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ó
õ

W 
 æ
ç
è		 Q
x
 - P
y
 ö
÷
ø		  dx  dy
Selvitä miten tämä ja oheinen divergenssilause ovat itse asiassa sama asia (tasotapauksessa).

3. Olkoon

W = {x Î R3 | 0 < x3 < 1,  x1 > 0, x2 > 0,  x1+x2 < 1 }
Olkoon v: R3 ® R3,
v(x) = (3x12x2,  x1x2, 0).
Jos v kuvaa nesteen virtausta R3:ssa niin mikä on W:sta poistuva nestemäärä/aikayksikkö?

4. Olkoon

W = {x Î R2 | | x | < 1, | y | < 1 }.
Tarkista tehtävän 2) kaava laskemalla molemmat puolet kun
P(x,y) = xy3,     Q(x,y) = x2y.

Projektitehtävä

Olkoon annettu

Lv = ó
õ		 1

0 
 fv  dx
ja kannat kuten edellisessä projektitehtävässä.

Tee ohjelma, joka annetulle funktiolle f ja kanta-funktioille vk laskee

qk = ó
õ		 1

0 
 f vk  dx.
Jos f on yleinen niin tässä tapauksessa pitää käyttää numeerista integrointia.

Kaavoja

ó
õ

W 
 Ñ·f  dx
= ó
õ

G 
 áf,nñda
div lause
ó
õ

W 
 (vDu+áÑu,Ñvñ) dx
= ó
õ

G 
 v  u
n
 da
Green 1
ó
õ

W 
 (vDu-uDv) dx
= ó
õ

G 
 (v  u
n
 -u  v
n
 ) da
Green 2
ó
õ

W 
 Du  dx
= ó
õ

G 
 u
n
 da
Green 3