Elementtimenetelmä
Harjoitus 9.

1. Tarkastellaan seuraavaa lineaarista elementtiä. Olkoon kolmion K sivujen keskipisteet p1,p2 ja p3. Olkoon v(x) = v(x1,x2) = a0+a1x1+a 2x2. Osoita että on olemassa vain yksi mahdollisuus valita a0,a1,a2 siten, että

v(p1) = 1,v(p2) = v(p3) = 0.
Ohje: Laskut ovat helpompia standardikolmiossa, jonka kärkipisteet ovat (0,0),(0,1),(1,0). Miksi yleinen tapaus seuraa tästä?

2. Tehdään kolmiointi ja käytetään edellisen tehtävän konstruktiota kantafunktioiden valinnassa: Olkoon pi kaikki keskipisteet, ja

vk(pi) = ì
í
î
1 ,
i = k
0 ,
i ¹ k
,
vk rajoitettuna johonkin kolmioon on lineaarinen. Näytä että vk ei (välttämättä) ole jatkuva.

Ohje: Tarkastele tapausta jossa on vain 2 kolmiota. Piirrä kuvat kantafunktioista.

3. Olkoon kolmiossa K annettu funktio

v(l1,l2,l3) = 3l1l2+l3l1-2l1
missä luvut li ovat barysentriset koordinaatit. Piirrä funktion graafi. Onko v(l) = 0 jossain K:n pisteessä?

Projektitehtävä

Ratkaise tekemiesi ohjelmien avulla 4. harj. 1. tehtävä ja 5. harj. 2. tehtävä. Esitä ratkaisut graafisesti.