Numeerinen analyysi
Harjoitus 3
Laske puolisuunnikassääntöä käyttäen
ò
0
1
x
3
dx valitsemalla n=5. Suorita virhearvio ja vertaa tulosta tarkkaan arvoon.
Jaetaan väli [a,b] eripituisiin osaväleihin [x
k
,x
k+1
] siten, että x
k+1
-
x
k
=h
k+1
, (0
£
k
£
n
-
1). Osoita, että puolisuunnikassääntöä vastaava sääntö on
ó
õ
b
a
f(x)dx
»
1
2
[f(a)+f(x
1
)]h
1
+
¼
+
1
2
[f(x
n
-
1
)+f(b)]h
n
.
Olkoon P(x) toisen asteen polynomi, joka saa pisteissä x
0
, x
1
=x
0
+h ja x
2
=x
0
+2h samat arvot kuin funktio f. Osoita, että
ó
õ
x
2
x
0
P(x)dx=
h
3
[f(x
0
)+4f(x
1
)+f(x
2
)].
Montako osaväliä tarvitaan sovellettaessa puolisuunnikassääntöä integraalin
ò
0
1
e
-
x
2
dx laskemiseen kuuden desimaalin tarkkuudella?
Ratkaise tehtävä 4, kun puolisuunnikassäännön asemasta käytetään Simpsonin kaavaa.