Ratkaisu


Lagrangen interpoloiva polynomi on muotoa
P(x)= n
å
k=0 
 f(xk)Ln,k(x),
missä
Ln,k(x)= n
Õ
i=0 
  (x-xi)
(xk-xi)
 kaikilla i ¹ k, k=0,1,¼,n.
Annettujen datapisteiden (x0,f(x0)),¼,(x3,f(x3)) kautta voidaan muodostaa korkeintaan astetta n=3 oleva Lagrangen muotoa oleva interpolaatiopolynomi. Lasketaan Lagrangen kerroinpolynomit,
L3,0(x)=  (x-1.1)(x-1.3)(x-1.4)
(1-1.1)(1-1.3)(1-1.4)
 =-  250
3
 (x-1.1)(x-1.3)(x-1.4),

L3,1(x)=  (x-1)(x-1.3)(x-1.4)
(1.1-1)(1.1-1.3)(1.1-1.4)
 =  500
3
 (x-1)(x-1.3)(x-1.4),

L3,2(x)=  (x-1)(x-1.1)(x-1.4)
(1.3-1)(1.3-1.1)(1.3-1.4)
 =-  500
3
 (x-1)(x-1.1)(x-1.4),

L3,3(x)=  (x-1)(x-1.1)(x-1.3)
(1.4-1)(1.4-1.1)(1.4-1.3)
 =  250
3
 (x-1)(x-1.1)(x-1.3),
Nyt
P3(x)
=
ln(1)L3,0+ln(1.1)L3,1+ln(1.3)L3,2+ln(1.4)L3,3
=
0.1970x3-1.063x2+2.5325x-1.6669
Virheen itseisarvolle |f(x)-P3(x)| välillä [x0,x3] saadaan arvio
|ln(x)-P3(x)|
=
 f(4)(x)
4!
 (x-1)(x-1.1)(x-1.3)(x-1.4),
x Î (1,1.4)
£
 1
24
 max
|  -6
x4
 | max
|(x-1)(x-1.1)(x-1.3)(x-1.4)|,
x,x Î [1,1.4]
£
 1
24
 max
|  -6
14
 | max
|(1.4-1)(1.4-1.1)(1-1.3)(1-1.4)|
=
0.036

Annettua funktiota voidaan siis approksimoida interpolaatiovälillä [1,1.4] hyvinkin tarkasti, mikä käy ilmi myös alla olevasta kuvaajasta, jossa on esillä funktio ln(x) sekä laskettu polynomi P3(x).