Ratkaisu

Etsitään siis pisteiden
xj
f(xj)
-2.0
2.0
-1.0
1.0
1.0
1.0
3.0
2.0
4.0
1.0
kautta kulkevaa kullakin osavälillä muotoa
(1)    Sj(x)=aj+bj(x-xj)+cj(x-xj)2+dj(x-xj)3,   j=0,1,2,3
olevaa kolmannen asteen polynomia seuraavin ehdoin
(a)
S(xj)=f(xj),
kaikilla j=0,1,2,3,4;
(b)
Sj+1(xj+1)=Sj(xj+1),
kaikilla j=0,1,2;
(c)
S¢j+1(xj+1)=S¢j(xj+1),
kaikillaj=0,1,2;
(d)
S¢¢j+1(xj+1)=S¢¢j(xj+1),
kaikillaj=0,1,2;
(e)
S¢¢(x0)=S¢¢(xn)=0,
Luonnollinen reunaehto.
Selvästi
Sj(xj)=aj=f(xj),   kaikilla j=0,1,2,3.
Määrittämällä solmupisteiden välinen etäisyys
hj=xj+1-xj
ja huomioimalla avoimen välin ]a,b[=]x0 < x1 < ¼ < x4[ solmupisteiden jatkuvuusehto (b) sekä määrittämällä a4=f(x4), saadaan polynomi (1) muotoon
(2)   aj+1=aj+bjhj+cjhj2+djhj3,   kaikilla j=0,1,2,3.
Edelleen
S¢j(x)=bj+2cj(x-xj)+3dj(x-xj)2.
Selvästi
S¢j(xj)=bj
ja määrittämällä b4=S¢(x4) sekä huomioimalla avoimen välin ]a,b[ solmupisteiden 1. kertaluvun derivaattaa koskeva jatkuvuusehto (c), saadaan
(3)    bj+1=bj+2cjhj+3djhj2    kaikillaj=0,1,2,3.
Määrittämällä lisäksi c4=S¢¢(x4)/2 seuraa avoimen välin ]a,b[ solmupisteiden 2. kertaluvun derivaattaa koskevan jatkuvuusehdon (d) mukaan
(4)    cj+1=cj+3djhj,    kaikilla j=0,1,2,3.
Ratkaisemalla dj yhtälöstä (4), antaa suora sijoitus yhtälöihin (2) ja (3)
(5)    aj+1=aj+bjhj+  hj2
3
 (2cj+cj+1)
ja
(6)    bj+1=bj+hj(cj+cj+1)    kaikilla j=0,1,2,3.
Ratkaisemalla bj yhtälöstä (5)
(7)   bj=  1
hj
 (aj+1-aj)-  hj
3
 (2cj+cj+1)   kaikilla j=0,1,2,3
ja tällöin
(8)   bj+1=  1
hj+1
 (aj+2-aj+1)-  hj+1
3
 (2cj+1+cj+2)   kaikilla j=0,1,2.
Laskettujen kertoimien bj, bj+1 lausekkeiden sijoitus yhtälöön (6) tuottaa yhtälöryhmän
(9)    hjcj+2(hj+hj+1)cj+1+hj+1cj+2 =  3
hj+1
 (aj+2-aj+1)-  3
hj
 (aj+1-aj),
kaikilla j=0,1,2. Kyseinen yhtälöryhmä on alimäärätty, 3 yhtälöä/5 muuttujaa cj. Tarvitaan välin [a,b] päätepisteiden 2. kertaluvun derivaattaa koskevat lisäehdot, jotka luonnollisten reunaehtojen tapauksessa ovat edellä annetut (e)
S¢¢(a=x0)=S¢¢(b=x4)=0.
Tällöin
0=S¢¢(x0)=2c0+6d0(x0-x0)Ž c0=0.
Lisäksi määritelmän mukaan cn=S¢¢(xn)/2=0. Voidaan osoittaa, että näin muodostetulla kvadraattisella yhtälöryhmällä Ac=b, missä
A= ę
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
č
1
0
0
0
0
h0
2(h0+h1)
h1
0
0
0
h1
2(h1+h2)
h2
0
0
0
h2
2(h2+h3)
h3
0
0
0
0
1
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ų 		,

b= ę
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
č
0
 3
h1
 (a2-a1)-  3
h0
 (a1-a0)
 3
h2
 (a3-a2)-  3
h1
 (a2-a1)
 3
h3
 (a4-a3)-  3
h2
 (a3-a2)
0
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ų 		    ja    c= ę
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
č
c0
c1
c2
c3
c4
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ų
on yksikäsitteinen ratkaisu.

Esimerkin tapauksessa solmupisteiden välinen etäisyysvektori
h=(1,2,2,1)
ja matriisiyhtälö Ac=b saadaan muotoon
ę
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
č
1
0
0
0
0
1
6
2
0
0
0
2
8
2
0
0
0
2
6
1
0
0
0
0
1
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ų 		ę
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
č
c0
c1
c2
c3
c4
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ų 		= ę
ē
ē
ē
ē
ē
ē
ē
č
0
3
3/2
-9/2
0
 ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ų 		,
jonka ratkaisuna
c= ę
č 		0,  2
5
 ,  3
10
 ,-  17
20
 ,0 ö
ų 		.
Kertoimet {bj}j=03 saadaan nyt suoralla sijoituksella yhtälöön (7),
b= ę
č 		-  17
15
 ,-  11
15
 ,  2
3
 ,-  13
30
 ö
ų
ja kertoimet {dj}j=03 puolestaan yhtälöstä (4),
d= ę
č 		 2
15
 ,-  1
60
 ,  -23
120
 ,  17
60
 ö
ų 		.
Muodostetaan lopuksi polynomi S(x) poimimalla kullekin osavälille laskettujen palapolynomien {Sj(x)}j=03 kertoimet aj,bj,cj ja dj. Saadaan
S(x)= ģ
ļ
ļ
ķ
ļ
ļ
ī
4/5
+
7/15x
+
4/5x2
+
2/15x3,
-2
£
x
£
-1
13/20
+
1/60x
+
7/20x2
-
1/60x3,
-1
£
x
£
1
33/40
-
61/120x
+
7/8x2
-
23/120x3,
1
£
x
£
3
-12
+
739/60x
-
17/5x2
+
17/60x3,
3
£
x
£
4