kautta kulkevaa kuutiospliniä S(x) määritetään ehdoin
(a)
S(xj)=f(xj),
kaikilla j=0,1,2,3,4;
(b)
Sj+1(xj+1)=Sj(xj+1),
kaikilla j=0,1,2;
(c)
S¢j+1(xj+1)=S¢j(xj+1),
kaikillaj=0,1,2;
(d)
S¢¢j+1(xj+1)=S¢¢j(xj+1),
kaikillaj=0,1,2;
(e)
S¢(x0)=f¢(x0)=-2, S¢(xn)=f¢(xn)=0,
Sidottureunaehto,
joista viimeinen ehto (e) poikkeaa edellisen tehtävän vapaasta
reunasta. Tässä tapauksessa yhtälöryhmä Ac=b saadaan muotoon
(johdetaan vastaavasti, kuten edellisessä tehtävässä)
A=
æ ç ç ç ç
ç ç ç è
2h0
h0
0
0
0
h0
2(h0+h1)
h1
0
0
0
h1
2(h1+h2)
h2
0
0
0
h2
2(h2+h3)
h3
0
0
0
h3
2h3
ö ÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ø
,
b=
æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç
ç ç ç ç ç ç ç ç è
3
h0
(a1-a0)-3f¢(x0)
3
h1
(a2-a1)-
3
h0
(a1-a0)
3
h2
(a3-a2)-
3
h1
(a2-a1)
3
h3
(a4-a3)-
3
h2
(a3-a2)
3f¢(xn)-
3
h3
(a4-a3)
ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
ja c=
æ ç ç ç ç
ç ç ç è
c0
c1
c2
c3
c4
ö ÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ø
.
Nyt
æ ç ç ç ç
ç ç ç è
1
2
1
0
0
1
6
2
0
0
0
2
8
2
0
0
0
2
6
1
0
0
0
1
2
ö ÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ø
æ ç ç ç ç
ç ç ç è
c0
c1
c2
c3
c4
ö ÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ø
=
æ ç ç ç ç
ç ç ç è
0
3
3/2
-9/2
3
ö ÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ø
,
jonka ratkaisuna
c=(-0.2008, 0.4015, 0.3958, -1.2348, 2.1174).
Kertoimet {bj}j=03 saadaan, kuten edellä suoralla
sijoituksella yhtälöön
bj=
1
hj
(aj+1-aj)-
hj
3
(2cj+cj+1),
b=(-1.0000, -0.7992, 0.7955, -0.8826).
Vastaavasti kertoimet {dj}j=03 ratkeavat yhtälöstä
