Ratkaisu

Puolisuunnikassääntö virhetermeineen on muotoa
ó
õ 		b

a 
 f(x)dx=  h
2
 [f(x0)+f(x1)]-  h3
12
 f¢¢(x),
missä h=(b-a) ja x Î ]a,b[.

Nyt integroitavana on funktio f(x)=xln(x+1) välillä [1,5]. Siis
ó
õ 		5

1 
 f(x)dx
=
 4
2
 [f(1)+f(5)]
=
2ln2+10ln6
»
19.304
Suoritetaan virhearvio.
f¢(x)
=
ln(x+1)+  x
x+1
 ,
f¢¢(x)
=
 x+2
(x+1)2
 ,
f¢¢¢(x)
=
-  x+3
(x+1)3
 .
Selvästi f¢¢¢(x) = -[(x+3)/((x+1)3)] < 0, kun 1 £ x £ 5. Siis f¢¢(x) on aidosti vähenevä funktio välillä [1,5] ja approksimaatiovirheen ylärajalle pätee
|Virhe| <  h3
12
 max
|f¢¢(x)|=  43
12
 |f¢¢(1)|=4.0.
Integraalin tarkka arvo on
ó
õ 		5

1 
 xln(x+1)dx=12(ln2+ln3)-4 » 17.501.

Todellinen approksimaatiovirhe on siis |Virhe|Tod.=1.803. Ohessa integraalin approksimaatio puolisuunnikasmenetelmällä graafisesti kuvattuna.