Ratkaisu

Simpsonin sääntö virhetermeineen on muotoa
ó
õ 		b

a 
 f(x)dx=  h
3
 [f(a)+4f(a+h)+f(b)]-  h5
90
 f(4)(x),
missä h=(b-a)/2 ja x Î ]a,b[.

Nyt integroitavana on funktio f(x)=xln(x+1) välillä [1,5]. Siis
ó
õ 		5

1 
 f(x)dx
=
 2
3
 [f(1)+4f(3)+f(5)]
=
 2
3
 [ln2+12ln4+5ln6]
»
17.525
Suoritetaan virhearvio.
f¢(x)
=
ln(x+1)+  x
x+1
 ,
f¢¢(x)
=
 x+2
(x+1)2
 ,
f(3)(x)
=
-  x+3
(x+1)3
 ,
f(4)(x)
=
 2(x+4)
(x+1)4
 ,
f(5)(x)
=
-  6(x+5)
(x+1)5
 .
Selvästi f(5)(x) = -[(6(x+5))/((x+1)5)] < 0, kun1 £ x £ 5. Siis f(4)(x) on aidosti vähenevä funktio välillä [1,5] ja approksimaatiovirheen ylärajalle pätee
|Virhe| <  h5
90
 max
|f(4)(x)|=  25
90
 |f(4)(1)|=  2
9
 » 0.22.
Integraalin tarkka arvo on
ó
õ 		5

1 
 xln(x+1)dx=12(ln2+ln3)-4 » 17.501.

Todellinen approksimaatiovirhe on siis |Virhe|Tod.=0.024. Ohessa integraalin approksimaatio Simpsonin menetelmällä graafisesti kuvattuna. Kuten havaitaan ei merkittäviä eroja ole nyt nähtävissä (vrt. edellinen tehtävä).