Ratkaisu

Yleistetty puolisuunnikassääntö virhetermeineen on muotoa
ó
õ 		b

a 
 f(x)dx=  h
2
 é
ë 		f(a)+2 n-1
å
j=1 
 f(xj)+f(b) ù
û 		-  b-a
12
 h2f¢¢(x),
missä h=(b-a)/n, xj=a+jh kaikilla j=0,1,¼,n ja x Î ]a,b[.

Integroitavana on funktio f(x)=xln(x+1) välillä [1,5], jonka integraalin approksimoimiseen käytetään viittä funktion arvoa. Siis n=4 ja h=(b-a)/4=1.0. Saadaan
ó
õ 		5

1 
 f(x)dx
=
 1
2
 [f(1)+2f(2)+2f(3)+2f(4)+f(5)]
=
 1
2
 [ln2+4ln3+6ln4+8ln5+5ln6]
»
17.620
Suoritetaan virhearvio.
f¢¢(x)
=
 x+2
(x+1)2
 ,
f¢¢¢(x)
=
-  x+3
(x+1)3
 .
Selvästi f¢¢¢(x) = -[(x+3)/((x+1)3)] < 0, kun 1 £ x £ 5. Siis f¢¢(x) on aidosti vähenevä funktio välillä [1,5] ja approksimaatiovirheen ylärajalle pätee
|Virhe| <  b-a
12
 h2 max
|f¢¢(x)|=  4
12
 12|f¢¢(1)|=  1
4
 .
Integraalin tarkka arvo on
ó
õ 		5

1 
 xln(x+1)dx=12(ln2+ln3)-4 » 17.501.

Todellinen approksimaatiovirhe on siis |Virhe|Tod.=0.119. Ohessa integraalin approksimaatio puolisuunnikasmentelmällä graafisesti kuvattuna neljällä osavälillä.


Vaatimus: |Virhe| < 10-6. Tarvittavien osavälien lukumäärä saadaan ratkaisemalla n epäyhtälöstä

 b-a
12
 h2 max
|f¢¢(x)|
<
10-6
Û
 (b-a)3
12n2
 max
|f¢¢(x)|
<
10-6
Û
n
>
  æ
Ö
(b-a)3 max
|f¢¢(x)|
12·10-6
 
Û
n
>
  æ
Ö
(5-1)3 max
|f¢¢(1)|
12·10-6
 
Û
n
>
2000.
Siis puolisuunnikasmenetelmää on sovellettava vähintään 2001 osavälillä (tarvitaan vähintään 2002 funktion arvoa) halutun tarkkuuden |Virhe| < 10-6 saavuttamiseksi.