Ratkaisu

Yleistetty Simpsonin sääntö virhetermeineen on muotoa
ó
õ 		b

a 
 f(x)dx=  h
3
 é
ë 		f(a)+2 (n/2)-1
å
j=1 
 f(x2j)+4 n/2
å
j=1 
 f(x2j-1)+f(b) ù
û 		-  b-a
180
 h4f(4)(x),
missä h=(b-a)/n, xj=a+jh kaikilla j=0,1,¼,n ja x Î ]a,b[.

Integroitavana on funktio f(x)=xln(x+1) välillä [1,5], jonka integraalin approksimoimiseen käytetään viittä funktion arvoa. Siis n=4 ja h=(b-a)/4=1.0. Saadaan
ó
õ 		5

1 
 f(x)dx
=
 1
3
 [f(1)+4f(2)+2f(3)+4f(4)+f(5)]
=
 1
3
 [ln2+8ln3+6ln4+16ln5+5ln6]
»
17.5032
Suoritetaan virhearvio.
f(4)(x)
=
 2(x+4)
(x+1)4
 ,
f(5)(x)
=
-  6(x+5)
(x+1)5
 .
Selvästi f(5)(x) = -[(6(x+5))/((x+1)5)] < 0, kun1 £ x £ 5. Siis f(4)(x) on aidosti vähenevä funktio välillä [1,5] ja approksimaatiovirheen ylärajalle pätee
|Virhe| <  b-a
180
 h4 max
|f(4)(x)|=  4
180
 14|f(4)(1)|=  1
72
 » 0.014.
Integraalin tarkka arvo on
ó
õ 		5

1 
 xln(x+1)dx=12(ln2+ln3)-4 » 17.501.

Todellinen approksimaatiovirhe on siis |Virhe|Tod.=0.0021. Ohessa integraalin approksimaatio Simpsonin menetelmällä graafisesti kuvattuna neljällä osavälillä.


Vaatimus: |Virhe| < 10-6. Tarvittavien osavälien lukumäärä saadaan ratkaisemalla n epäyhtälöstä

 b-a
180
 h4 max
|f(4)(x)|
<
10-6
Û
 (b-a)5
180n4
 max
|f(4)(x)|
<
10-6
Û
n
>
4 æ
Ö  
 
(b-a)5 max
|f(4)(x)|
180·10-6
 
Û
n
>
4 æ
Ö  
 
(5-1)5 max
|f(4)(1)|
180·10-6
 
Û
n
>
43.
Oltava n parillinen. Siis Simpsonin sääntöä on sovellettava vähintään 44 osavälillä (tarvitaan vähintään 45 funktion arvoa) halutun tarkkuuden |Virhe| < 10-6 saavuttamiseksi.