Ratkaisu

---

Muodostetaan ensimmäiset approksimaatiot yleistetyllä puolisuunnikassäännöllä k=1,2,¼,n osavälillä

ó õ b a  f(x)dx=  hk 2 é ë f(a)+2 2k-1-1 å i=1  f(a+ihk)+f(b) ù û ,      (1)

missä h_k=(b-a)/2^k-1 on jakoa k vastaavan osavälin pituus. Yhtälö (1) on Rombergin integroinnin yhteydessä tapana esittää kuitenkin seuraavin merkinnöin

Rk,1=  1 2 é ë Rk-1,1+hk-1 2k-2 å i=1  f(a+(2i-1)hk) ù û ,

missä k=2,3,¼, n. Arvolla k=1 sovelletaan puolisuunnikassääntöä (1) ainoastaan yhdellä osavälillä. Esimerkkitehtävän

ó õ p/2 0   cos(x) 5+3cos(x) dx

tapauksessa

R1,1 = h1/2[f(a)+f(b)]=(p/2-0)/2[f(0)+f(p/2)]=0.098175, R2,1 = 1/2[R1,1+h1f(a+h2)]=1/2[0.098175+p/2f(0+p/4)]=0.127030, R3,1 = 1/2[R2,1+h2(f(a+h3)+f(a+3h3))] = 1/2[0.127030+p/4(f(p/8)+f(3p/8))]=0.134663.

Kiihdytetään suppenemista Richardsonin ekstrapolaatiolla

Rk,j=Rk,j-1+  Rk,j-1-Rk-1,j-1 4j-1-1 ,missä k=2,3,¼,n ja j=2,¼,k.

Saadaan

R2,2=R2,1+  R2,1-R1,1 42-1-1 =0.136706,

R3,2=R3,1+  R3,1-R2,1 42-1-1 =0.137193,

R3,3=R3,2+  R3,2-R2,2 43-1-1 =0.137226.

Richardsonin ekstrapolaatiomenetelmän approksimaatiot on tapana esittää taulukkomuodossa

R1,1=0.098175 R2,1=0.127030 R2,2=0.136706 R3,1=0.134663 R3,2=0.137193 R3,3=0.137226

Integraalin tarkka arvo

ó õ p/2 0   cos(x) 5+3cos(x) dx=-  5 6 arctan æ è  1 2 ö ø +  1 6 p » 0.13722576,

joten neljän desimaalin tarkkuus saavutetaan arvolla R_3,3.

---