Ratkaisu



Pisteen (2,1) etäisyyden neliö käyrästä y=1/x on muotoa
D
=
(2-x)2+(1-y)2 = (2-x)2+(1-1/x)2
=
x2-4x+5+1/x2-2/x.
Pisteen (2,1) ja käyrän y=1/x lyhin etäisyys löydetään derivaatan D¢(x) nollakohdista.
D¢(x)
=
-4+2x+2/x2-2/x3
=
2x4-4x3+2x-2.

Derivaattafunktion kuvaajasta nähdään, että välttämättä etäisyysfunktion D minimoiva nollakohta on välillä (1,2). Valitaan siis alkuarvaukseksi x0=2 ja iteroidaan ratkaisuja Newtonin kaavan mukaan

xn+1
=
xn-  D¢(xn)

D¢¢(xn)
=
xn-  2xn4-4xn3+2xn-2

8xn3-12xn2+2
.
Saadaan
xn D¢(xn)
2.0000 2.0000
1.8888 0.2801
1.8675 0.0091
1.8667 0.0000
1.8667
3. iteraatio antaa ratkaisun x=1.8667 neljän desimaalin tarkkuudella. (Tarkka ratkaisu 1/2+1/2Ö{3+2Ö5} » 1.866760399.)