Lineaarialgebran ydinaines

1 Lineaarialgebran ydinainesanalyysi

1.1 Kurssin rakenne ja järjestelyt

Lineaarialgebran 5 opintoviikon kurssin kontaktiopetus koostuu luennosta (14×4 = 56 tuntia) ja demoista (14×2 = 28 tuntia), sekä tietokonedemoista, joista noin puolet sisältyy viikoittaisiin demoihin ja puolet tehdään omatoimisesti "etäopiskeluna".

Kurssiin kuuluu kaksi välikoetta, ja tietokonedemot vaikuttavat kokonaisarvosanaan niin, että maksimipistemäärä on 20 + 20 + 10 = 50. Lisäksi kotilaskuista voi saada bonusta enintään 10% eli 5 lisäpistettä.

1.2 Esitiedot

Lineaarialgebran kurssia edeltäviksi opinnoiksi suositellaan jotain lukion matematiikkaa täydentävää kurssia, esimerkiksi Analyysi I tai Matematiikan johdantokurssi. Osallistujilla odotetaan olevan mm. perustiedot ja -taidot joukko-opista, relaatioista ja funktioista sekä logiikasta ja todistusmenetelmistä.

1.3 Kurssin tavoitteet

Kurssilla on tarkoitus oppia mm.

- ratkaisemaan lineaarisia yhtälöryhmiä
- vektori- ja matriisilaskentaa
- lineaariavaruuksien ja -kuvausten teoriaa
- sisätuloavaruuksien ominaisuuksia
- ominaisarvojen ja -vektorien laskeminen
- matriisin diagonalisointi ja neliömuototyypit
- tietokoneen käyttöä lineaarialgebrassa
- edellisten tietojen ja taitojen soveltamista

Kurssin pedagogisena tarkoituksena on tutustuttaa opiskelija paitsi konkreettiseen vektori- ja matriisilaskentaan sekä vektoriavaruuksiin, myös abstraktiin lineaariavaruuksien teoriaan. Tämä aksiomaattinen, puhtaasti joukko-oppiin ja logiikkaan perustuva teoria on ideaalinen esimerkki yhtaikaa käyttökelpoisesta mutta silti verrattain yksinkertaisesta struktuurista. Kurssin toivotaankin kehittävän käsitteenmuodostus- ja abstrahointitaitoa sekä harjaannuttaa näkemään jo ennestään tuttuja asioita uudesta näkökulmasta.

Kurssiin liittyy jonkin verran pakollisia tietokonedemonstraatioita, joista osassa keskitytään oppimaan uusia käsitteitä vuorovaikutteisten tehtäväarkkien avulla, ja osassa opetellaan lineaaristen struktuurien käsittelyä matematiikan tietokoneohjelmilla (Maple/Matlab). Nämä eivät kuitenkaan edellytä varsinaisten ohjelmointikielten tuntemusta.

Oppikirjana tai oheismateriaalina voi käyttää esimerkiksi teosta

Leon, Steven J.: Linear algebra with applications, third edition. - Macmillan, New York, 1990 tai myöhempi, luvut 1-6.

1.4 Kurssin oppisisältö ja ydinainesjaottelu

Kurssin nykyinen sisältö näkyy oppikirjan

Pesonen, Martti E.: Lineaarialgebra. Epsilon ry, Joensuu, 2004.

sisällysluettelosta ja kurssiin sisältyvät käsitteet vielä tarkemmin hakemistosta (liitteinä).

Kurssin keskeisin sisältö jakaantuu kahdeksi pääosaksi, jotka kylläkin myös nivoutuvat monilta osin yhteen:

A. Lineaariset yhtälöryhmät, matriisialgebra sekä ominaisarvot ja -vektorit

B. Lineaariavaruudet ja lineaarikuvaukset

Kaikkia kurssitekstin asioita ei kuitenkaan kurssilla käsitellä eikä vaadita aktiivisesti osattaviksi. Oppimateriaali koetetaankin tässä jakaa tärkeysjärjestyksessä kolmeen ainestyyppiin 1, 2 ja 3.

Aines 2: Sisältöä, joka ei ole välttämätöntä pohjustusta kurssin keskeisimpien (Aines 1) asioiden opiskelulle, mutta on monella tapaa hyödyllistä, ehkä motivoivaa, ja voidaan lukea kuuluvan "matemaattiseen yleissivistykseen". Opetetaan valikoiden, osa voi jäädä itseopiskelun varaan, ja aiheista on useimmiten kotitehtäviä ja tietokoneharjoituksia.
Aines 3: Aiheet, joita ei tavallisesti luennoilla opeteta, vaan ne jäävät asiasta kiinnostuneiden - tai niitä poikkeuksellisesti tarvitsevien - itse opiskeltaviksi. Aineksesta voi kuitenkin olla satunnaisesti kotitehtäviä tai tietokoneharjoituksia. Monesti sovellus muille aloille.


AINESTA 1	AINESTA 2	AINESTA 3
2. LIN. YHTÄLÖRYHMÄT	1. JOHDANTO
- lineaariset yhtälöryhmät	- vektoriyhtälöt
- Gauss-Jordanin reduktio	- n-vektorit
3. MATRIISI	4. ANALYYTTISTÄ GEOMETRIAA
- matriisialgebra	- suorat tasossa
- yhtälöryhmä matriisimuodossa	- tasot avaruudessa	- laskutoimitusten määristä
- matriisin porrasmuoto
5. KÄÄNTEISMATRIISI
- käänteismatriisi	- alkeismatriisit
- laskusäännöt	- alimatriisit	- lohkotulot
- eliminointimenetelmä
6. DETERMINANTTI
- determinantti	- alkeismatriisien det
- determinantti ja säännöllisyys	- laskutoimitusten määristä
- tulon determinantti	LUKU 7. Liittomatriisi
- eliminointimenetelmä	- liittomatriisimenetelmä
	- Cramerin sääntö
	8. SOVELLUTUKSIA	- sovelluksia
9. LINEAARIAVARUUS
- laskutoimitukset	- yhtälöt
- lineaariavaruus	- omituisia esimerkkejä
10. ALIAVARUUS
- määrittely	- polynomit
- viritetty aliavaruus	- funktiot
	- summa-avaruus
11. RIIPPUMATTOMUUS
- määritelmä	- singulaarisuus	- Wronski
- ominaisuudet	- suora summa	- analyyttistä geom.
- yksikäsitteisyys
12. KANTA
- kanta ja koordinaatit	- aliavaruuksien dimensioista
- kannan olemassaolo	- kannaksi täydentäminen
- dimensio
13. MATRIISI JA ALIAVARUUDET
- nolla-avaruus	- riviavaruus
- sarakeavaruus	- kannaksi täydentäminen
- yhtälöryhmä ja sarakkeet	- dimensiolause
14. LINEAARIKUVAUS
- määrittely	- tason lineaarikuvauksia	- muita esimerkkejä
- kuvaukset Rⁿ ® R^m	- kannaksi täydentäminen
15. LINEAARIKUVAUS JA	ALIAVARUUDET
- aliavaruuksien säilyminen	- bijektiiviset kuvaukset
- dimensiolause	- dimension säilyminen
- isomorfia
16. MATRIISIESITYS
- Rⁿ ® R^m (luonnolliset kannat)	- yleinen tapaus	- erikoistapaus Rⁿ ® R^m
- kuvausten yhdistäminen	- ytimet ja kuva-avaruudet
	- A x = b ratkaisujen määristä
	17. KANNANVAIHTO
	- yleinen tapaus	- avaruudessa Rⁿ


AINESTA 1	AINESTA 2	AINESTA 3
18. SISÄTULOAVARUUS
- määritelmä
- normi ja metriikka	- metrinen ja normiavaruus
19. ORTOGONAALISET JOUKOT	JA PROJEKTIOT
- kulman määritelmä
- ortogonaalisuus	- Gram-Schmidt
- projektiot	- projektiot aliavaruuksiin	- etäisyys suorasta ja tasosta
20. ORTONORMAALIT KANNAT	JA MATRIISIT
- ortonormaalit kannat	- ortogonaaliset matriisit
	- isometria
	21. ORTOGONAALISET ALIAV.	JA PNS-MENETELMÄ
	- ortogonaalinen komplementti	- matriisin määräämät
	- PNS-ratkaisu	ortog. aliavaruudet
	- normaaliyhtälö	- PNS ja yhtälöryhmät
	22. KÄYRÄN SOVITUS	PNS-MENETELMÄLLÄ
	- interpolaatio-extrapolaaatio
	- polynomisovitus
23. OMINAISARVOT JA -VEKTORIT
- matriisin ominaisarvot	- kuvausten ominaisarvot
ja vektorit	ja vektorit
- karakteristinen yhtälö	- kompleksinen tapaus
24. MATRIISIN DIAGONALISOINTI
- ominaisarvot ja
lin. riippumattomuus
- diagonalisoituvuus
25. SYMMETRISET MATRIISIT	JA SPEKTRAALILAUSE
- spektraalilause	- ominaisarvoista
- luokittelu
26. NELIÖMUODOISTA
- neliömuoto
- luokittelu	- pääakseliongelma
	Algebrallisista rakenteista
	- ryhmä
	- kunta

Kurssinmonisteen sisällysluettelo

Hakemisto

A₊, N₀, Û, Þ, Ð, Ç, È, Æ, $, ", Î , C, N, Q, R, Z, K, ^, \, Í , ×, Ú, Ù, n tuntemattoman yhtälö, :=, äärellisesti viritetty lineaariavaruus, äärellisulotteinen lineaariavaruus, ääretönulotteinen lineaariavaruus,	adjungoitu matriisi, alakolmiomatriisi, aliavaruuksien summa, aliavaruus, alimäärätty yhtälöryhmä, alkeismatriisi, alkeisoperaatio, Cramerin sääntö, definiitti, , determinantin kehittäminen, determinantti, diagonaali, diagonaalimatriisi, diagonalisoituva matriisi, ei-singulaarinen neliömatriisi, ekstrapolaatio, ekvivalentit, eliminointimenetelmä, epähomogeeninen yhtälöryhmä, euklidinen avaruus,
funktioiden lineaarinen riippuvuus, Gauss-Jordanin reduktio, Gaussin eliminointimenetelmä, Hessin matriisi, homogeeninen yhtälöryhmä, identtinen kuvaus, indefiniitti, , integraalisisätulo, interpolaatio, isometria, isomorfisuus, iteraatiokaava, jälki, jatkuvien funktioiden joukko, johtava alkio, johtava muuttuja, käänteismatriisi, kahden vektorin välinen kulma, kantavektori, karakteristinen polynomi, karakteristinen yhtälö, karteesinen tulo, kartioleikkaus, kerroinkunta, kerroinmatriisi, kofaktori, kofaktorikehitelmä, kofaktorimatriisi, kokonaislukupotenssi, kolmioepäyhtälö, kolmiomuoto, kompleksinen lineaariavaruus, komplementti, kuva-avaruus, kvadraattinen yhtälöryhmä, ,	laajennettu kerroinmatriisi, liittomatriisi, lineaariavaruuden dimensio, lineaariavaruuden kanta, lineaariavaruus, lineaarikombinaatio, , lineaarikuvaus, lineaarinen operaattori, lineaarinen riippumattomuss, lineaarinen riippuvuus, lineaarinen yhtälöryhmä, lineaarinen yhtälöryhmä vektorimuodossa, luonnollinen kanta, matriisi, matriisien alkeisoperaatiot, matriisin aste, matriisin ositus, matriisitulo, metriikka, , metrinen avaruus, muutosriippuvuus,
neliömatriisi, neliömuoto, neliöpinta, neliöyhtälö, nolla-avaruus, nollakuvaus, nollamatriisi, normaaliyhtälö, normi, , , normiavaruus, ominaisarvo, , ominaisavaruus, ominaisvektori, , ortogonaalikomponentti, , ortogonaalinen komplementti, ortogonaalinen matriisi, ortogonaaliprojektio, ortogonaaliset vektorit, ortogonaalisuus, ortonormaali, ortonormaali matriisi, ortonormitettu joukko,	päälävistäjä, Parsevalin lause, pienimmän neliösumman ratkaisu, piste, pistetulo, , PNS-ratkaisu, polynomien joukko, porrasmuoto, projektio, projektio aliavaruudelle, projektiomatriisi, pystyvektori, ratkaisujoukko, reaalinen lineaariavaruus, redusoitu porrasmuoto, residuaali, ristitulo, riviavaruus, riviekvivalentti, rivivektori, ,
säännöllinen neliömatriisi, samansuuntaiset vektorit, sarakeavaruus, sarakevektori, , Sarrusin sääntö, Schwarzin epäyhtälö, semidefiniitti, , sidottu joukko, siirtomatriisi, singulaarinen matriisi, sisätulo, sisätuloavaruus, skaalaus, skalaariavaruus, skalaariprojektio, skalaaritulo, sovitusfunktio, standardi kanta, suora koordinaattimuodossa, suora parametrimuodossa, suora summa, suora vektorimuodossa, suoraan verrannollisuus, symmetrinen matriisi,	taso, taso parametrimuodossa, tason koordinaattiyhtälö, tason lineaarikuvaus, tason suuntavektori, tr, transpoosi, triviaali lineaarikuvaus, triviaaliratkaisu, tuenta, tukialkio, tukirivi, tukiyhtälö, tulojoukko, vaakavektori, vapaa joukko, vapaa muuttuja, vastakkaissuuntaiset vektorit, vastavektori, vektori, vektoriavaruus, vektorien lineaarinen riippuvuus, vektorien välinen etäisyys, vektorijoukkojen lineaarinen riippuvuus, vektorijoukon virittämä aliavaruus, vektorin pituus, , vektoriprojektio, vektoritulo, venytys, virittävä joukko,
Wronskin determinantti, ydin, yhdensuuntaiset vektorit, yhtälöryhmä, yhtälöryhmän kertoimet, yhtälöryhmän ratkaiseminen, yhtälötyhmän ratkaisu, yksikkömatriisi, yksikkövektori, yläkolmiomatriisi, ylimäärätty yhtälöryhmä,

File translated from T_EX by T_TH, version 3.33.
On 11 Feb 2004, 21:38.