ő16. Anwendungen der Konvergenzs„tze

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ber IR, Lebesgue-integrierbar: Nach 12.2 w„re sonst auch deren Absolut-
betrag ber IR, Lebesgue-integrierbar. Da aber auf jedem der Intervalle
[km, (k + 1) z [ die Absch„tzung

Isinxl 1

fsinxl

x (k+1)z

gilt, erh„lt man

f sin x fn f (k+ 1)n

J il,' (dx) >

fp~ X g=$ (k 4 1)7l

J [ sin x I dx

i  a                   n      i

= -- J Isinxldx ţ

7C ok=1 ~%~

fr jedes n c IN. Die harmonische Reihe divergiert jedoch.

(kc N)

III. Berechnung des Integrals G. -- Die vorausgehenden Betrachtungen leh-
ren, daá Integrale, die dem Leser u.U. nur als Riemann-Integrale bekannt
sind, unter den genannten Voraussetzungen sofort als Lebesgue-Integrale
interpretiert werden k”nnen. Bekannte Formeln und Rechenregeln fr
Riemann-Integrale stehen uns daher auch in der Lebesgueschen Theorie
zur Verfgung.
Zur Illustration betrachten wir die auf IR, x R definierte nichtnegative
Funktion

~ -- x(1 + co~)

(16.5)

f(x, co):=

1+ co'

(X E IRpy CO E IR)

Sie ist insbesondere fr festes x e IR, als Funktion von co auf IR stetig und
damit ber jedes kompakte Intervall in fR il,'-integrierbar. Wegen
lel < 2]el < 1+ co' gilt

0<f(x,co)<e "~

(x > 0).

RDie Funktion ist daher nach 12.2 fr alle x >0 l'-integrierbar. Fr x = 0 ist

die R'-Integrierbarkeit aus

J (1+ o)~) 'dco = lim [arctgco]'" = n

n~co

irekt ersichtlich. Somit wird durch

(16.6)

y(x):= Jf(x, co)l'(dŽ))

eine reelle Funktion y auf fR, definiert. Es gilt y(0) = z.