§16. Anwendungen der Konvergenzsatze

über IR+, Lebesgue-integrierbar: Nach 12.2 wäre sonst auch deren Absolutbetrag über IR+, Lebesgue-integrierbar. Da aber auf jedem der Intervalle  die Abschätzung

gilt, erhält man

für jedes n in IN. Die harmonische Reihe divergiert jedoch.

III. Berechnung des Integrals G. -- Die vorausgehenden Betrachtungen lehren, daß Integrale, die dem Leser u.U. nur als Riemann-Integrale bekannt sind, unter den genannten Voraussetzungen sofort als Lebesgue-Integrale interpretiert werden können. Bekannte Formeln und Rechenregeln für Riemann-Integrale stehen uns daher auch in der Lebesgueschen Theoric zur Verfügung. Zur Illustration betrachten wir die auf IR+ X IR definierte nichtnegative Funktion

Sie ist insbesondere für festes x in IR, als Funktion von  auf IR stetig und damit über jedes kompakte Intervall in IR -integrierbar. Wegen  gilt