1 Funktionaalianalyysiä

1.1 Määritelmiä

Määritelmä 1 Olkoon X vektoriavaruus kerroinkunnan F yli. Tällöin kuvaus &bardbl;&periodcentered;&bardbl; : X &multiply; X → R+ on avaruuden X normi, mikäli se täyttää ehdot

kaikilla f, g &element; X, &lambda; &element; F. Vektoriavaruutta, jossa on määritelty normi kutsutaan normiavaruudeksi. Määritelmä 2 Normiavaruuden X pisteiden jono &braceleft;fn &braceright; suppenee kohti pistettä f, mikäli kaikilla &epsiv; > 0 on olemassa N &element; N siten, että &bardbl;f - fn&bardbl; < &epsiv; kaikilla n &geq; N. Suppenemistapauksessa kirjoitamme f = lim n&rarr;&infin; fn . Määritelmä 3 Jono &braceleft;fn &braceright; &reflexsubset; X on Cauchy`n jono, mikäli jokaista &epsiv; > 0 vastaa N &element; N siten, että &bardbl;fn - fm&bardbl; < &epsiv; kaikilla n, m &geq; N Määritelmä 4 Sanomme, että normiavaruuden X pisteiden &braceleft;fn &braceright; muodostama sarja &summationtext; n = 1&infin;fn suppenee, jos sen osasummien

k S = &sum; f k n n=1
muodostama jono suppenee. Sarjan sanotaan suppenevan itseisesti, jos sarja
&sum;&infin; &bardbl;f &bardbl; n n=1
suppenee. Määritelmä 5 Normiavaruus X on täydellinen, jos jokainen Cauchy`n jono suppenee kohti jotakin joukon X pistettä. Täydellistä lineaarista normiavaruutta kutsutaan myös Banachin avaruudeksi. Esimerkki 1 Avaruus Lp (&Omega;) on täydellinen normiavaruus, kun määritellään
(&int; )1- p p &bardbl;f &bardbl;p = &Omega;&bar;f&bar; d&mu; .

Seuraavan lauseen avulla saadaan eräs kriteeri sille, milloin jokin normiavaruus on täydellinen. Lause 1 Normiavaruus X on täydellinen jos ja vain jos jokainen itseisesti suppeneva sarja suppenee. Määritelmä 6 Olkoon X1 ja X2 vektoriavaruuksia. Tällöin kuvaus T : X1 &rarr; X2 on lineaarinen, mikäli

T (&alpha;f + &beta;g) = &alpha;T f + &beta;T g
kaikilla f, g &element; X,   &alpha;, &beta; &element; F Määritelmä 7 Olkoon X1 ja X2 normiavaruuksia. Tällöin operaattoria T &element; L(X1 , X2 ) sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa M > 0 siten ,että
&bardbl;T f&bardbl;2 &leq; M &bardbl;f &bardbl;1
kaikilla f &element; X1 . Määritelmä 8 Olkoon X ja S, T &element; L(x) Tällöin määritellään operaattorien S ja T tulo
(ST )f := (S &openbullet; T)f = S(T (f)).
Edelleen, määritellään operaattorin potenssi
T n := T (T n-1)
ja sovitaan, että
T0 = I,
missä I on identiteettioperaattori
I : X &rarr; X,If = f.