Analyysi 1, 1998, Harjoitus 11
Teht„vi„:
- 1.
-
Olkoon f:R® R jatkuva funktio siten, ett„
f(0) = 2 ja limx® -¥f(x) = 0 ja
f on v„henev„, kun x ³ 3. Osoita, ett„ f:ll„ on suurin arvo
R:ss„.
- 2.
-
Osoita, ett„ funktiolla f,
on suurin ja pienin arvo R:ss„.
- 3.
-
Oletetaan, ett„ f(0) = 0 ja f¢(0) = 1/2.
Todista, ett„ on olemassa d > 0 siten, ett„
0 < [(f(x))/( x)] < 1, kun 0 < |x| < d.
Kotiteht„v„t:
- 1.
-
Olkoon funktio f jatkuva ja
limx® ¥f(x) = limx® -¥f(x) = 1.
a) N„yt„ esimerkki tapauksesta, jossa funktiolla
f on suurin arvo, mutta ei pienint„ arvoa.
b) N„yt„ esimerkki tapauksesta, jossa funktiolla
f on pienin arvo, mutta ei suurinta arvoa.
c) N„yt„ esimerkki tapauksesta, jossa funktiolla
f on sek„ suurin ett„ pienin arvo.
d) Osoita: Jos f(0) = 0, niin funktiolla f
on R:ss„ pienin arvo.
- 2.
-
Olkoon f:R® R jatkuva funktio siten, ett„
f(1) = -1 ja |f(x)-1| < 1, kun 2-x2 < 0. Osoita, ett„ f:ll„ on R:ss„
pienin arvo.
- 3.
-
Osoita, ett„ funktiolla f