View Submission: Funktiot

Funktioita koskeva WebCT-testi

Aluksi tarkastellaan yhden muuttujan funktioita, joissa kylläkin voi olla muuttujana tai arvona vektori. Toinen puolisko koskee kahden muuttujan funktioita.

Joihinkin tehtäviin Sinun tulee syöttää vastauksia niin matemaattisessa muodossa kuin "kirjoituskonetyylissä" on mahdollista. Koska systeemi lukee syötteesi merkkijonona, noudata tehtävien vastausesimerkki-ikkunan ohjeita, jotta saat oikeista vastauksistasi pisteet heti (ja helpotat tarkastajan työtä)!

Tarkemmat ohjeet näet Vastausesimerkki-ikkunassa, joka avautuu alla olevalla linkillä uuteen ikkunaan. Pienennä kyseinen ikkuna sopivan kokoiseksi. Pidä akkunaa auki, mutta voit siirtää sen esimerkiksi ruudun oikeaan alakulmaan, jossa se häiritsee ehkä vähiten.
Palaa WebCT-ikkunaan. Huomaa, että (jos levität työskentelyikkunan koko ruuduksi)vastausesimerkki-ikkuna helposti kutistuu alapalkin kuvakenappulaksi, mutta sieltähän sen tarvittaessa saa taas esille.

Vastausesimerkki-ikkuna auki!

Funktiot
Name: Muumipeikko	Attempt: 1 / 2	Max. score: 102
Started: March 4, 2005 11:29am	Finished: March 4, 2005 12:42pm	Time spent: 1 hr, 12 min., 51 sec.
Muumipeikko finished 1 hr, 47 min., 9 sec. ahead of the 180 min. time limit.

Question 1

(1 point)

Onko seuraavassa kyseessä funktio?

f: R® R, f(x) : =

x²

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	Kyllä. Ei ole oikein. Luku 0 kuuluu lähtöjoukkoon, mutta arvoa f(0) ei ole edes määritelty; se ei siis ole maalijoukon R alkio.
100.0%	b.	Ei.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä. Lähtöjoukon, säännön ja maalijoukon yhteensopivuus.

Score:

0 / 1

Override score:

Comments:

Question 2

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä funktio?

f: R₊® R₊, f(x) : = ln(x + 2)

Student response:

Percent Value	Answer Choices
100.0%	a.	Kyllä. Oikein! Jokaiseen x Î R₊ liittyy täysin määrätty luku y = ln(x+2) Î R₊.
0.0%	b.	Ei.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä. Lähtöjoukon, säännön ja maalijoukon yhteensopivuus.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 3

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä funktio, kun oletetaan a, b ja c erisuuriksi luonnollisiksi luvuiksi?

f(a) : = -3, f(b) : = c, f(c) : = a, f(a) : = c

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	Kyllä.
100.0%	b.	Ei. Oikein! Alkio a kuvautuisi positiviiselle luvulle c ja negatiiviselle luvulle -3.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä. Lähtöjoukon, säännön ja maalijoukon yhteensopivuus.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 4

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä reaalilukujen joukossa määritelty funktio?

Lukuun x liitetään epäyhtälöstä 3x > 5 määräytyvä totuusarvo.

Student response:

Percent Value	Answer Choices
100.0%	a.	Kyllä.
0.0%	b.	Ei. Väärin. On funktio, sillä näin jokaiseen reaalilukuun liittyy tasan yksi arvo joukosta {tosi,epätosi}.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä.

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 5

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä funktio vasemmanpuoleisesta pistejoukosta oikeanpuoleiseen?

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	Kyllä.
100.0%	b.	Ei. Oikein, alkiolla 2 ei ole lainkaan kuvaa.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 6

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä funktio, kun sarakkeen x lukuihin liittyy saman rivin sarakkeen y luku?

x y

1 5

2 3

3 2

4 4

5

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	Kyllä.
100.0%	b.	Ei. Oikein, alkiolla 5 ei ole kuvaa.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 7

(2 points)

Valitse seuraavalle säännölle (mahdollisimman laaja) lähtöjoukko ja sopiva maalijoukko niin, että syntyy funktio.

g(x) : = ln(x+1)

Kirjoita ylempään laatikkoon lähtöjoukko, alempaan maalijoukko!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	]-1,ääretön[	50%	]-1, ääretön[ (50%), ]-1,ääretön[ (50%)
2.	R	50%	R (50%), ]-ääretön,ääretön[ (50%)

General feedback:

Lähtöjoukko väli ]-1,¥[ ja maalijoukko R. Logaritmi negatiivisesta muuttujasta olisi kompleksinen ja monikäsitteinen, siis ei funktio.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 8

(2 points)

Valitse seuraavalle säännölle lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy funktio.

h(x) : = æ
ç
è

x+1

2-x
ö
÷
ø

Kirjoita ylempään laatikkoon lähtöjoukko, alempaan maalijoukko!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	R	50%	R (50%)
2.	R	0%	R^2 (50%), C^2 (50%)

General feedback:

Lähtöjoukko R ja maalijoukko R². Mutta myös kompleksisena on mielekäs.

Score:

1 / 2

Override score:

Comments:

Question 9

(3 points)

Valitse seuraavalle säännölle lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy funktio.

k æ
ç
è æ
ç
è

x₁

x₂
ö
÷
ø ö
÷
ø : = x₂ ln x₁

Kirjoita ylempään laatikkoon lähtöjoukko, alempaan maalijoukko!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	R+	0%	]0,ääretön[xR (50%), R+xR (50%), ]0,ääretön[ x R (50%), R+ x R (50%)
2.	R	50%	R (50%)

General feedback:

Lähtöjoukoksi voidaan valita enimmillään oikeanpuoleinen puolitaso R₊ ×R, jotta arvot ovat reaalilukuja.

Kyseessä on siis funktio k : R₊ ×R ® R.

Score:

1.5 / 3

Override score:

Comments:

Question 10

(3 points)

Valitse seuraavalle reaalilukuja koskevalle säännölle muuttuja, lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy funktio, joka on määritelty mahdollisimman laajassa joukossa.

2x + |y| = 3

Kirjoita muuttuja ylimpään laatikkoon, toiseen lähtöjoukko ja alimpaan maalijoukko!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	x	0%	y (30%)
2.	]-ääretön,3/2]	0%	R (35%)
3.	R+	0%	R (35%)

General feedback:

Muuttujaksi ei voida valita x:ää, koska säännöstä tulisi kaksikäsitteinen (paitsi tietysti yhdessä pisteessä x = 3/2, mikä kiellettiin).
Mutta muuttujaksi voidaankin valita y, jolloin x määräytyy yksikäsitteisesti. Lähtö- ja maalijoukoksi voidaan valita R.

Score:

0 / 3

Override score:

Comments:

Question 11

(2 points)

Olkoot a, b ja c eri alkioita. Valitse seuraavalle säännölle lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy funktio.

f(a) : = 2, f(b) : = a, f(c) : = 2

Kirjoita ylempään laatikkoon lähtöjoukko, alempaan maalijoukko!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	R	0%	{a,b,c} (50%)
2.	2	0%	{2,a} (50%), {2,a,b} (50%), {2,a,b,c} (50%)

General feedback:

Lähtöjoukko {a,b,c}, maalijoukko {2,a}, {2,a,b} tai {2,a,b,c}.

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 12

(2 points)

Valitse seuraavalle nuolin ilmaistulle säännölle lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy funktio.

Kirjoita ylempään laatikkoon lähtöjoukko, alempaan maalijoukko!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	(1,2,3,4)	0%	{1,2,3,4} (50%), {1, 2, 3, 4} (50%)
2.	(1,2,3,4)	0%	Q (50%), R (50%), N (50%), C (50%), {1,2,3,4} (50%), Z (50%), {1, 2, 3, 4} (50%)

General feedback:

Lähtöjoukko {1,2,3,4}, maalijoukko {1,2,3,4}
tai jopa esimerkiksi N, etc

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 13

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä injektio?

f: R® R, f(x) : =

1+x²

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	On injektio.
100.0%	b.	Ei ole injektio. Oikein, sillä f(-1) = f(1) = 1/2.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 14

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä surjektio?

f: R® R, f(x) : =

1+x²

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	On surjektio. Ei ole surjektio, sillä f £ 1 ja siten esimerkiksi luvulle 2 ei kuvaudu mitään.
100.0%	b.	Ei ole surjektio.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä.

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 15

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä surjektio?

f: R₊® R, f(x) : = x - 1

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	On surjektio. Ei ole surjektio, sillä esimerkiksi luvulle -2 ei kuvaudu mitään.
100.0%	b.	Ei ole surjektio.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä.

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 16

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä surjektio vasemmanpuoleisesta pistejoukosta oikeanpuoleiseen?

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	On surjektio.
100.0%	b.	Ei ole surjektio. Oikein, sillä alkiolle 8 ei kuvaudu mitään.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 17

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä injektio, kun sarakkeen x lukuihin liittyy saman rivin sarakkeen y luku?

x y

1 4

2 1

3 2

4 3

5 4

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	On injektio.
100.0%	b.	Ei ole injektio. Oikein, neloselle kuvautuu kaksi lukua.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 18

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä surjektio, kun sarakkeen x lukuihin liittyy saman rivin sarakkeen y luku?
Maalijoukoksi valitaan kaikki oikeanpuoleisen sarakkeen alkiot, ja vain ne.

x y

1 4

2 1

3 2

4 3

5 4

Student response:

Percent Value	Answer Choices
100.0%	a.	On surjektio. Oikein.
0.0%	b.	Ei ole surjektio.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 19

(2 points)

Valitse joukon {1,2,4} alkukuva kuvauksessa

x y

1 4

2 1

3 2

4 3

5 4

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	{1,2,3}
0.0%	b.	{1,2,4,5}
100.0%	c.	{1,2,3,5} Aivan oikein!
0.0%	d.	{1,2,3,4,5}

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 20

(2 points)

Valitse välin [1,4] alkukuva kuvauksessa g : R ® R,

g(x) : = x²,

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	[1,2]
0.0%	b.	[1,4]È[-4,-1]
0.0%	c.	R\[-1,1]
100.0%	d.	[1,2]È[-2,-1] Aivan oikein!
0.0%	e.	[-1,1]
0.0%	f.	[-2,-1]

General feedback:

Määritelmän tunnistustehtävä.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 21

(3 points)

Onko funktiolle voimassa: lähtöjoukon osajoukon A kuvan alkukuva on tarkalleen A?

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	On totta. Ei ole totta, kuvan alkukuva voi olla laajempikin.
100.0%	b.	On valetta.
0.0%	c.	Ei tietoa.

General feedback:

Tieto-taitotehtävä.

Score:

0 / 3

Override score:

Comments:

Question 22

(2 points)

Onko funktiolle voimassa: maalijoukon osajoukon B alkukuvan kuvajoukko on tarkalleen B?

Student response:

Percent Value	Answer Choices
100.0%	a.	On totta. Onhan se totta.
0.0%	b.	On valetta.
0.0%	c.	Ei tietoa.

General feedback:

Tieto-taitotehtävä.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 23

(2 points)

Onko injektiolle voimassa: lähtöjoukon osajoukon A kuvan alkukuva on tarkalleen A?

Student response:

Percent Value	Answer Choices
100.0%	a.	On totta. Oikein! Onhan tämä totta.
0.0%	b.	On valetta.
0.0%	c.	Ei tietoa.

General feedback:

Tieto-taitotehtävä.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 24

(2 points)

Toiseksi tutkiskelemme kahden muuttujan funktioita.

Onko seuraavassa kyseessä kahden muuttujan funktio?

f: R₊ ×R₊ ® R₊, f(x,y) : = ln(x+y)

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	Kyllä. Väärin. Ei ole funktio, sillä se voi saada negatiivisiakin arvoja.
100.0%	b.	Ei.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Funktiossa on siis tärkeää myös maalijoukon valinta.

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 25

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä kahden muuttujan funktio?

f: N ×R₊ ® N, f(x,y) : = 2x

Student response:

Percent Value	Answer Choices
100.0%	a.	Kyllä. Oikein, tuloshan on täysin määrätty luonnollinen luku.
0.0%	b.	Ei.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Funktion arvon ei tarvitse todellisuudessa riippua muuttujien arvoista (vrt. vakiofunktio)!

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 26

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä kahden muuttujan funktio?

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	Kyllä. Väärin. Ei ole funktio, sillä alkiolla (x₁,y₁) olisi kaksi kuvaa.
100.0%	b.	Ei.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Funktion arvon pitää olla yksikäsitteinen.

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 27

(2 points)

Oheisen dynaamisen kuvion ilmaisema kahden muuttujan x ja y sääntö, joka tuottaa tuloksen f(x,y),

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	muodostaa funktion R ® R.
100.0%	b.	muodostaa funktion R² ® R². Oikein, kyseessä on funktio R² ® R².
0.0%	c.	muodostaa funktion R ® R².
0.0%	d.	muodostaa funktion R² ® R.
0.0%	e.	ei muodosta minkäänlaista kuvausta.
0.0%	f.	En osaa sanoa.

General feedback:

Kyseessä on peilaus erään suoran suhteen.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 28

(3 points)

Tarkastellaan oheisen dynaamisen kuvion ilmaisemaa kahden muuttujan x ja y sääntöä, joka tuottaa tuloksen f(x,y).
Mitkä seuraavista valinnoista voidaan hyväksyä oikeiksi?
Tässä: "Kaikki oikein tai ei mitään!"

Student response:

Correct Response	Student Response	Answer Choices
		a.	Se muodostaa funktion R ® R. Ei, sillä muuttujana on tason piste, ei reaaliluku.
		b.	Se muodostaa funktion R² ® R².
		c.	Se muodostaa funktion R ® R².
		d.	Se muodostaa funktion R² ® R. Oikein, näin voidaan tulkita.
		e.	Se ei muodosta minkäänlaista kuvausta.

General feedback:

Joskus sääntö on tulkittavissa monin erilaisin tavoin. Tämän säännön voidaan ajatella muodostavan

1. funktion R² ® R², jolloin f(x,y) : = (x,0). Tällöin on kyseessä projektio vaaka-akselille.

2. funktion R² ® R, jolloin f(x,y) : = x.

3. jopa funktion mistä tahansa (sovittavasta) tason osajoukosta joukkoon R, joukkoon R² tai sopivaan osajoukkoon!

Score:

0 / 3

Override score:

Comments:

Question 29

(2 points)

Tuottamistehtäviä: funktio-ominaisuus (lyhytvastauksia)

Seuraavissa tehtävissä lähtöjoukoksi valitaan mahdollisimman laaja joukko ja maalijoukoksi sopiva, riittävän laaja. Jätetään tässä kuitenkin kompleksiluvut (C) rauhaan!

Valitse seuraavalle säännölle (mahdollisimman laaja) lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy funktio.

g(x,y) : = (x-1, x-y)

Anna lähtöjoukko laatikossa 1, maalijoukko laatikossa 2!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	R	0%	RxR (50%), R^2 (50%), R x R (50%)
2.	R	0%	RxR (50%), C^2 (50%), R^2 (50%), R x R (50%)

General feedback:

Lähtöjoukko ja maalijoukko R² (molemmiksi kävisi myös C², joka on laajempikin).

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 30

(3 points)

Valitse seuraavalle säännölle (mahdollisimman laaja) lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy funktio.

g(x,y) : =

æ
ç
ç
ç
è

x²-y²

ln y

ö
÷
÷
÷
ø

Anna lähtöjoukko laatikossa 1, maalijoukko laatikossa 2!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	RxR+	50%	RxR+ (50%), Rx]0,ääretön[ (50%), R x R+ (50%)
2.	R	0%	RxRxR (50%), C^3 (50%), R^3 (50%), R x R x R (50%)

General feedback:

Lähtöjoukko ja maalijoukko R² (molemmiksi kävisi myös C², joka on laajempikin).

Score:

1.5 / 3

Override score:

Comments:

Question 31

(2 points)

Valitse seuraavalle säännölle (mahdollisimman laaja) lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy funktio.

H(x₁,x₂) : = x₂

æ
è

3x₁-x₂
x₂+x₁

ö
ø

Anna lähtöjoukko laatikossa 1, maalijoukko laatikossa 2!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	R	0%	R^2 (50%), R x R (50%), RxR (50%)
2.	R	0%	RxR (50%), R^2 (50%), R x R (50%)

General feedback:

Lähtöjoukko ja maalijoukko R² (molemmiksi kävisi myös C², joka on laajempikin).

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 32

(2 points)

Valitse seuraavalle säännölle (mahdollisimman laaja) lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy funktio.

æ
è

x₁
x₂

ö
ø

æ
è

y₁
y₂

ö
ø

: =

(x₁-y₁)² + (x₂-y₂)²

Anna lähtöjoukko laatikossa 1, maalijoukko laatikossa 2!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	R	0%	(RxR)x(RxR) (50%), (R^2)x(R^2) (50%), R^2xR^2 (50%)
2.	R	50%	(R+)U{0} (50%), R+U{0} (50%), [0,ääretön[ (50%), R (50%)

General feedback:

Lähtöjoukoksi luonnollisin R²×R² tai (R×R)×(R×R), jolloin maalijoukon pitää sisältää kaikki ei-negatiiviset reaaliluvut.

Score:

1 / 2

Override score:

Comments:

Question 33

(2 points)

Valitse seuraavalle säännölle lähtöjoukko ja maalijoukko niin, että syntyy funktio.

Anna lähtöjoukko laatikossa 1, maalijoukko laatikossa 2!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	XxY	0%	{x2}xY (50%), {(x2,y1),(x2,y2)} (50%), (X\{x1})xY (50%), {x2}x{y1,y2} (50%)
2.	Z	50%	Z (50%), {z2,z5} (50%), {z1,z2,z3,z4,z5} (50%)

General feedback:

Lähtöjoukko saadaan siis poistamalla ne parit, joissa funktio ei ole määritelty, ts. ei lähde nuolia. Maaliksi kelpaa mikä tahansa joukko, joka sisältää alkiot z₂ ja z₅.

Score:

1 / 2

Override score:

Comments:

Question 34

(2 points)

Toiseksi tutkiskelemme kahden muuttujan funktioiden injektiivisyyttä ja surjektiivisuutta.

Onko seuraavassa kyseessä injektio?

f: R ×R ® R, f(x,y) : = 1
1+(xy)²

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	Kyllä.
100.0%	b.	Ei. Oikein, (1,2) ja (2,1) kuvautuvat samalle alkiolle.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Injektiivisyys on perusedellytys funktion ''kääntyvyydelle''.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 35

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä surjektio?

f: R ×R ® R, f(x,y) : =

1+(xy)²

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	Kyllä. Väärin. Ei ole surjektio, sillä mikään pari ei kuvaudu nollalle.
100.0%	b.	Ei.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

Surjektiivisuus vaikuttaa siihen kuinka laajasti funktio ''kääntyy''.

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 36

(2 points)

Onko seuraavassa kyseessä bijektio?

f: R ×R ® R ×R, f(x,y) : = (y,2x)

Student response:

Percent Value	Answer Choices
100.0%	a.	Kyllä. Oikein! Perustelu: ks. General Feedback ...
0.0%	b.	Ei.
0.0%	c.	En tiedä.

General feedback:

On bijektio.

Injektiivisyys (suoralla todistuksella!): Jos (x₁,y₁) ¹ (x₂,y₂), niin x₁ ¹ x₂ tai y₁ ¹ y₂. Siis 2x₁ ¹ 2x₂ tai y₁ ¹ y₂, ja siten

f(x₁,y₁) = (y₁,2x₁) ¹ (y₂,2x₂) = f(x₂,y₂).

Surjektiivisuus: Maalijoukon alkiolle (a,b) Î R² kuvautuu lähtöjoukon alkio (b/2,a) Î R².

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 37

(2 points)

Tässä dynaamiseen kuvioon perustuvassa tehtävässä voit halutessasi käyttää apuna ympyröitä, joita voi säätää vasemmalla olevilla pisteillä.

Oheisen dynaamisen kuvion ilmaisema kahden muuttujan x ja y sääntö, joka tuottaa tuloksen f(x,y),

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	muodostaa bijektion R ® R.
0.0%	b.	muodostaa bijektion R² ® R².
0.0%	c.	muodostaa bijektion R ® R².
0.0%	d.	muodostaa bijektion R² ® R.
0.0%	e.	muodostaa bijektion eräältä tason suoralta tälle samalla suoralle.
100.0%	f.	muodostaa bijektion eräältä origokeskiseltä ympyrältä toiselle ympyrälle.
0.0%	g.	ei muodosta bijektiota millään yllä mainituista tavoista. Kyllä se muodostaa ... ks. General Feedback ...
0.0%	h.	on minulle käsittämätön ilmiö.

General feedback:

Kyseessä on vektorien kutistus puoleen, ja se on rajoitettu vielä eräälle ympyrälle, jolloin kuvajoukko on säteeltään puolet määrittely-ympyrästä.

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 38

(3 points)

Valitse mahdollisimman laajat lähtö- ja maalijoukot säännölle f niin, että syntyy kahden reaalimuuttujan reaaliarvoinen bijektio:

f(x,y) : = (e^x, y).

Anna lähtöjoukko laatikossa 1, maalijoukko laatikossa 2!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	RxR	50%	R^2 (50%), R x R (50%), RxR (50%)
2.	R+	0%	R+xR (50%), R+ x R (50%), ]0,ääretön[xR (50%), ]0,ääretön[ x R (50%)

General feedback:

Funktio on selvästikin määritelty koko tasossa ja sen arvojoukko = oikeanpuoleinen vasemmalta reunalta avoin puolitaso.

Score:

1.5 / 3

Override score:

Comments:

Question 39

(2 points)

This page requires a Java capable browser.

Yllä olevassa dynaamisessa kuviossa on kuvattu eräs kahden muuttujan x ja y sääntö, joka tuottaa tuloksen f(x,y).

Valitse sopivat lähtö- ja maalijoukot niin, että syntyy bijektio.
Voit tutkiessasi käyttää hyväksi siirreltävää apuympyrää.

Anna lähtöjoukko laatikossa 1, maalijoukko laatikossa 2!

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	?	0%	RxR (50%), R x R (50%), R^2 (50%)
2.	?	0%	R^2 (50%), RxR (50%), R x R (50%)

General feedback:

Kyseessä on tason kierto tietyn vakiokulman verran, merkityn mustan pisteen ympäri.

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 40

(2 points)

This page requires a Java capable browser.

Yllä olevassa dynaamisessa kuviossa on kuvattu eräs kahden muuttujan x ja y sääntö, joka tuottaa tuloksen f(x,y).
Voit tutkiessasi käyttää hyväksi pisteiden siirreltävyyttä ja animointi- ym. nappuloita.

Tarkastellaan sääntöä f funktiona, jonka lähtöjoukko on [-4,2]×[-3,4] (joille väleille muuttujat animoinneissa on rajattukin).

Valitse maalijoukko niin, että funktiosta tulee surjektio.
Kirjoita vastauksesi seuraavaan lokeroon.

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	[-7,6]	100%	[-7,6] (100%), [-7.0,6.0] (100%)

General feedback:

Funktio on lineaari-affiinikuvaus.

Score:

2 / 2

Override score:

Comments:

Question 41

(2 points)

This page requires a Java capable browser.

Tarkastellaan sääntöä f funktiona, jonka lähtöjoukko on [-4,2]×[-3,4] (joille väleille muuttujat animoinneissa on rajattukin).

Voidaanko maalijoukko valita niin, että tulee bijektio?

Student response:

Percent Value	Answer Choices
0.0%	a.	Kyllä.
100.0%	b.	Ei.
0.0%	c.	En osaa sanoa. Ei voida, sillä funktio on liian "epäinjektiivinen".

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 42

(3 points)

This page requires a Java capable browser.

Tarkastellaan sääntöä f funktiona, jonka lähtöjoukko on [-4,2]×[-3,4] (joille väleille muuttujat animoinneissa on rajattukin).

Kun valitaan kiinteäksi arvo x = -4, voidaanko kuvaukselle y ® f(-4,y) valita maalijoukko niin, että syntyy bijektio väliltä [-3,4] kyseiselle joukolle?

Vastaa kirjoittamalla seuraavaan lokeroon sopiva joukko tai EI tai EN TIEDÄ.

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	EI	0%	[-7.0,0.0] (100%), [-7,0] (100%), [-7.0,0] (100%)

General feedback:

Funktio on lineaari-affiinikuvaus.

Score:

0 / 3

Override score:

Comments:

Question 43

(2 points)

This page requires a Java capable browser.

Yllä olevassa dynaamisessa kuviossa on kuvattu eräs kahden muuttujan x ja y sääntö, joka tuottaa vektorituloksen

f(x,y) = (f₁(x,y), f₂(x,y)).

Voit tutkiessasi käyttää hyväksi pisteiden siirreltävyyttä ja animointi- ym. nappuloita.

Tarkastellaan sääntöä f = (f₁,f₂) funktiona R²® R².
Määritä f(-2,3).

Kirjoita vastaus alla olevaan lokeroon.

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	(2,3)	0%	(-2,-1) (100%), (-2.0,-1.0) (100%)

General feedback:

Funktio on lineaari-affiinikuvaus.

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 44

(2 points)

This page requires a Java capable browser.

Alla olevassa dynaamisessa kuviossa on kuvattu eräs kahden muuttujan x ja y sääntö, joka tuottaa vektorituloksen

f(x,y) = (f₁(x,y), f₂(x,y)).

Voit tutkiessasi käyttää hyväksi pisteiden siirreltävyyttä ja animointi- ym. nappuloita.

Tarkastellaan sääntöä f =(f₁,f₂) funktiona, jonka lähtöjoukko on [0,1]×[0,2]
(joille väleille muuttujat animoinneissa on alunperin rajattukin).

Valitse maalijoukko niin, että funktiosta tulee surjektio.
Kirjoita vastauksesi alla olevaan lokeroon.

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	[1,2]	0%	[-1,1]x[1,2] (100%), [-1.0,1.0]x[1.0,2.0] (100%)

General feedback:

Funktio on lineaari-affiinikuvaus.

Score:

0 / 2

Override score:

Comments:

Question 45

(3 points)

This page requires a Java capable browser.

Yllä olevassa dynaamisessa kuviossa on kuvattu eräs kahden muuttujan x ja y sääntö, joka tuottaa vektorituloksen

f(x,y) = (f₁(x,y), f₂(x,y)).

Voit tutkiessasi käyttää hyväksi pisteiden siirreltävyyttä ja animointi- ym. nappuloita.

Tarkastellaan sääntöä f =(f₁,f₂) funktiona, jonka lähtöjoukko on [0,1]×[0,2]
(joille väleille muuttujat animoinneissa on alunperin rajattukin).

Voidaanko maalijoukko valita niin, että tulee bijektio?
Vastaa antamalla sopiva joukko tai EI tai EN TIEDÄ.

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	EI	0%	[-1,1]x[1,2] (100%), [-1.0,1.0]x[1.0,2.0] (100%)

General feedback:

Funktio on lineaari-affiinikuvaus. Se on injektio, joten sopivin joukkovalinnoin siitä saadaan bijektioita.

Score:

0 / 3

Override score:

Comments:

Question 46

(3 points)

This page requires a Java capable browser.

Alla olevassa dynaamisessa kuviossa on kuvattu eräs kahden muuttujan x ja y sääntö, joka tuottaa vektorituloksen

f(x,y) = (f₁(x,y), f₂(x,y)).

Voit tutkiessasi käyttää hyväksi pisteiden siirreltävyyttä ja animointi- ym. nappuloita.

Tarkastellaan sääntöä f = (f₁,f₂) funktiona R²® R².

Kirjoita alempana oleviin numeroituihin lokeroihin seuraavien tehtävien vastaukset:

1. Määritä f₁(x,y), siis koeta selvittää sen lauseke.
2. Määritä f₂(x,y), siis koeta selvittää sen lauseke.

Student response:

No.	Student response	Grade	Correct answer (Value)
1.	x-y	0%	-y+1 (50%), 1-y (50%)
2.	x+y	0%	x+1 (50%), 1+x (50%)

General feedback:

Funktio on lineaari-affiinikuvaus.

Score:

0 / 3

Override score:

Comments:

Question 47

(2 points)

Kirjoita palautetta Kerro mielipiteesi

1. Tämän testin tehtävistä.

2. Ennusta kuinka monta prosenttia näistä sait oikein.

Student response:

Oikein ehkä puolet? Java-jutut olivat hankalia hahmottaa, miten niistä saadaan tietoa irti ja mitä ne tarkoittavat. Näitä on kuitenkin ihan kiva tehdä, vähän erilaisia kuin tavalliset laskuharjoitukset.

Correct answer:

Score:

Comments:

Quiz score adjustment:

General quiz comments:

Total score:

50 / 102 = 49.0%

Update grade Reset attempt Cancel

Kiitos vastauksista, toivottavasti työarkki oli mielenkiintoinen ja haastava.
Käy se läpi ajan kanssa tulosten ja tehtäväkommenttieni kera.