Lineaarialgebra

Dynaaminen työarkki 4: Lineaarikuvaukset tasossa

- projektio, peilaus, venytys ja kierto geometriselta kannalta
- lineaarisuus-ominaisuus
- matriisiesitys
- ominaisarvot ja ominaisvektorit (toisessa dokumentissa Lineaarikuvaus2.htm)
HYVÄ OPISKELIJA
Tämä lomake voi lähettää vastauksesi opettajalle sähköpostina. Tekniset viat ovat aina mahdollisia, joten tee varalta muistiinpanot vastauksistasi myös paperille!

Tämän dokumentin tehtävistä pitäisi selviytyä tunnissa, toisessa saman verran.
Pyyntö: Kun yksi tunti on kulunut, kirjoita tieto tästä käsiteltävänä olevan tehtävän kommenttialueelle! Ilmoita loppupalautteessa koko kuluttamasi aika.
Etäkäyttäjälle: Voit ladata ja tallettaa dokumentin koneellesi, sulkea Internet-yhteyden, ratkaista tehtävät, luoda Internet-yhteyden uudelleen ja lähettää vastauksesi. Älä kuitenkaan siirry dokumentista muulle sivulle samalla selainistunnolla, voit menettää työsi tuloksen!
Kun olet käsitellyt tehtävät, painat vain lomakkeen lopussa olevaa Lähetä-nappia.

Älä poistu tältä sivulta ennenkuin olet vastannut ja lähettänyt tuotoksesi.

Jos on aivan pakko lopettaa kesken, niin lähetä se mitä siihen mennessä sait aikaan. Palaa myöhemmin tehtävien pariin ja lähetä vastauksesi jäljellä oleviin tehtäviin.
On suositeltavaa ratkoa tehtävät vaikkapa parityöskentelynä. Kirjoittakaa alle kuitenkin vain yhden henkilön tiedot ja ilmoittakaa toinen/muut dokumentin lopussa olevassa Palaute-osassa.


HYVÄ VIERAILIJA
Myös sivullamme vierailijat ovat tervetulleita lähettämään vastauksiaan ja kommenttejaan lomakkeen lopussa näkyvään osoitteeseen.

Nimi: 
Opiskelijanumero: 
Sähköpostiosoite: 

Työarkin tarkoitus
Tämän työarkin tarkoituksena on vahvistaa seuraavien käsitteiden ymmärtämistä:
lineaariset perusfunktiot tasossa
funktion lineaarisuus
lineaarikuvauksen matriisiesitys
ominaisarvo ja ominaisvektori (toinen dokumentti "Lineaarikuvaus2.htm")

Sisältö

Lyhyet perusohjeet
0 Lineaariset perusfunktiot
I Tunnistusta ja arvoituksia

II Opiskelijapalaute

Lyhyet perusohjeet

Tämä esimerkkitaulu kuvaa tavallista tasovektorien yhteenlaskua +, skalaareilla kertomista (eräs skaalausfunktio) ja lineaarikombinaatioita.
This page requires a Java capable browser. Näissä JavaSketchpad applet-konstruktioissa, joita tässä kutsumme tauluiksi, voit yleensä vetää (liikutella hiirellä) värillisiä peruspisteitä, joihin konstruktiot nojaavat.
Punainen piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2, kun taas punainen piste c suoralla kuvaa reaaliskalaaria (lukua) reaaliakselilla R.
Tulosvektori u+v on parin (u,v) kuva tavallisen koordinaateittaisen vektorien yhteenlaskun suhteen ja cu parin (c,u) kuva skalaarillakertomiskuvauksessa.

Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

O Lineaariset perusfunktiot tasossa

Seuraavat Javasketchpad-taulut kuvaavat lineaarisia perusfunktioita projektio, peilaus, venytys ja kierto, euklidisessa tasossa R2.

Tason laskuoperaatiot ovat tietenkin tavallinen vektorien koordinaateittainen yhteenlasku ja skalaarilla kertominen.
Hiiren avulla voit vetää muuttujaa u ja säätää transformaatioita sopivalla tavalla. Kokeile reippaasti!

O A Projektio vaaka-akselille (maksimi 7 pistettä)

This page requires a Java capable browser. 		Tehtävä 0 A. Tutkitaan projektiota vaaka-akselille funktiona R2 ® R2.

1. Pisteen (2 4)T kuva on (4 0)T (2 0)T 2 (0 2)T ei tietoa

2. Pisteen (2 4)T alkukuva on
(4 2)T (2 0)T 2 tyhjä ei tietoa

3. Pisteen (2 0)T alkukuva on
(4 2)T (2 4)T (2 0)T {(2 y)T | y in R} ei tietoa

Käytä seuraavissa vaikkapa animointeja:
4. Mikä on janan (-6 2)T ® (-4 -2)T kuva?
(-6 -4)T jana (-6 0)T ® (-4 0)T {(-6 0)T,(-4 0)T} ei tietoa
5. Mikä on ympyrän kuva? piste ympyrä jana ei tietoa

6. Onko funktio L injektio? kyllä ei ei tietoa
7. Onko funktio L surjektio? kyllä ei ei tietoa

O B Peilaus vaaka-akselin yli (maksimi 5 pistettä)

This page requires a Java capable browser. 		Tehtävä O B. Tutkitaan peilausta vaaka-akselin yli funktiona R2 ® R2.

2. Pisteen (2 4)T kuva on
(4 0)T (2 -4)T 2 (-2 4)T ei tietoa

2. Pisteen (2 4)T alkukuva on
(4 2)T (-2 -4)T 2 (2 -4)T ei tietoa

3. Mikä on ympyrän kuva? piste ympyrä jana ei tietoa

4. Onko funktio L bijektio? kyllä ei ei tietoa

5. Mitä on peilaukselle (LoL)(u) =

0 C Tason venytyksiä (maksimi 4 pistettä)

This page requires a Java capable browser. 		Tehtävä 0 C. Tutkitaan venytyksiä (dilation) funktioina R2 ® R2:
C æ
è 		x1
x2
 ö
ø 		: = æ
è 		cx1
 x2
 ö
ø 		       D æ
è 		x1
x2
 ö
ø 		: = æ
è 		 x1
dx2
 ö
ø
Käytä aluksi vain vasemman puolen valintoja taulussa.

1. Mikä on janan kuva kuvauksessa C, kun c ei ole nolla?
jana ympyrä kolmio suora ei tietoa
2. Mikä on ympyrän kuva kuvauksessa C, kun c ei ole nolla?
jana ellipsi paraabeli suora ei tietoa

3. Onko funktio C bijektio, kun c < 0 ? kyllä ei ei tietoa
Tutkitaan nyt yhdistettyä funktiota (composition), jossa koordinaatteja skaalataan vakioilla, joita voit muutella alaosan "Change"-valinnoilla.
(D °C) æ
è 		x1
x2
 ö
ø 		= æ
è 		cx1
dx2
 ö
ø
Käytä nyt alaosan yhdistetyn funktion valintoja (Compose C and D) sekä apuna vaikkapa ympyräanimointia.
4. Millaisilla arvoilla c ja d origokeskisen ympyrän kuva on ympyrä yhdistetyssä kuvauksessa DoC?
Pitää olla:

O D Tason kierto ja venytys (maksimi 4 pistettä)

This page requires a Java capable browser. 		Tehtävä O D. Tutkitaan tason kiertoja (rotation) ja venytyksen ja kierron yhdistämistä funktioina R2 ® R2:

Käytä aluksi vain vasemman puolen valintoja taulussa.

1. Mikä on janan kuva kuvauksessa R?
jana ympyrä kolmio suora ei tietoa
2. Mikä on ympyrän kuva kuvauksessa R?
jana ellipsi ympyrä suora ei tietoa

3. Määritä välin [0, 2p] kulma, jota vastaavassa kierrossa pisteen (4 1)T kuva on positiivisella pystyakselilla. Kulma on:

Ota nyt mukaan myös oikeanpuoleiset nappulat.
4. Onko funktio D bijektio kaikilla reaalisilla kertoimilla d ? kyllä ei ei tietoa

Tutkitaan nyt yhdistettyä funktiota DoR (Compose R and D). Voit muutella näitä alaosan "Change"-valinnoilla.
5. Resetoi (näppäimistön R:llä) kuvio ja valitse Compose R and D. Määritä yhdistetyn kuvauksen matriisi (likiarvot!):

6. Miten funktio DoR eroaa funktiosta RoD (kun aina tarkastellaan vain lopullista tulosta) ?
ei mitenkään paljon ei tietoa

I Lineaarikuvaukset: Tunnistusta ja arvoituksia

Kussakin seuraavista viidestä taulusta näet jonkin funktion L toimintaa ilmentävän konstruktion.
Sinun tulee selvittää taulun vieressä olevat tehtävät. Tehtävissä pyydetään yleensä valitsemaan yksi vaihtoehto tai kirjoittamaan vastausalueille numeerista tai verbaalista tietoa.

Palautetaan mieleen lineaarikuvauksen määritelmä:

LINEAARIKUVAUKSEN MÄÄRITELMÄ
Olkoot (V, +, ) ja (W, +, ) samakertoimisia (tässä reaalikertoimisia) lineaariavaruuksia ja L: V®W funktio.
Funktio L on lineaarinen, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:
(i) L(u + v) = L(u) + L(v) kaikilla u, v joukossa V
(ii) L(c u) = c L(u) kaikilla u joukossa V, kaikilla skalaareilla c.

Lyhyet ohjeet ja verryttelyä

Tämä esimerkkitaulu kuvaa erästä tason kuvausta F. Muuttujavektorin u kuvavektori on F(u), ja se liikkuu (mahdollisesti), kun vedät hiirellä muuttujaa u.

Maksimi 2 pistettä.

Voit työskennellä vapaasti nappuloiden ja objektien liikuttelun kanssa askartelemalla. Kuitenkin monien tehtävien onnistunut ratkaiseminen perustuu ohjeiden seuraamiseen!
Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).
Vasen puoli: yhteenlasku Oikea puoli: skaalaus
Kuva-alkiot: IMAGES ON F

This page requires a Java capable browser. 		Verryttelyä
1. Mikä on vektorin (3 4)T kuva?
()T
2. Minkä vektorin kuva on (3 4)T?
()T

Seuraavat ongelmat ovat yhteisiä tämän osion I tauluille:

1. Onko funktio F lineaarinen?
2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion F (anna sanallinen ilmaus) ?
3. Muodosta funktion F määräävä symbolimuotoinen ilmaus.
4. Jos F on lineaarinen, esitä sen matriisi (approksimaatio).

Vastausesimerkkejä
1. Funktio ei ole lineaarinen. Tämä voidaan nähdä useillakin tavoilla:
- määritelmän ehdot (i) tai (ii).
- lineaarikuvauksen jonkin ominaisuuden puuttuminen.
Tässä yksinkertaisin lienee todeta, että nollavektori ei kuvaudu nollavektoriksi tässä kuvauksessa (todistettu ominaisuus!)
2. Määrität helposti siirtovektorin a, jolla F(u) saadaan vektorista u, mutta miten?
3. F(u) = u + a = u + (2 1)^T.

I Arvoitus 1

Maksimi 4 pistettä.
This page requires a Java capable browser.

I Arvoituksen 1 tehtävät

1. Onko funktio L lineaarinen? kyllä ei ei tietoa

2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion L (anna sanallinen ilmaus) ?

3. Muodosta funktion L määräävä symbolimuotoinen ilmaus:

4. Jos L on lineaarinen, esitä sen matriisi (approksimaatio):


Kommenttisi Tehtävään I Arvoitus 1:

I Arvoitus 2

Maksimi 4 pistettä.
This page requires a Java capable browser.

I Arvoituksen 2 tehtävät

1. Onko funktio L lineaarinen? kyllä ei ei tietoa

2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion L (anna sanallinen ilmaus) ?

3. Muodosta funktion L määräävä symbolimuotoinen ilmaus:

4. Jos L on lineaarinen, esitä sen matriisi (approksimaatio):


Kommenttisi Tehtävään I Arvoitus 2:

I Arvoitus 3

Maksimi 4 pistettä.
This page requires a Java capable browser.

I Arvoituksen 3 tehtävät

1. Onko funktio L lineaarinen? kyllä ei ei tietoa

2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion L (anna sanallinen ilmaus) ?

3. Muodosta funktion L määräävä symbolimuotoinen ilmaus:

4. Jos L on lineaarinen, esitä sen matriisi (approksimaatio):


Kommenttisi Tehtävään I Arvoitus 3:

I Arvoitus 4

Maksimi 4 pistettä.
This page requires a Java capable browser.

I Arvoituksen 4 tehtävät

1. Onko funktio L lineaarinen? kyllä ei ei tietoa

2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion L ?

3. Jos L on lineaarinen, esitä sen matriisi (approksimaatio):

4. Mitä vihjeitä käytit?


Kommenttisi Tehtävään I Arvoitus 4:

I Arvoitus 5

Maksimi 4 pistettä.
This page requires a Java capable browser.

I Arvoituksen 5 tehtävät

1. Onko funktio L lineaarinen? kyllä ei ei tietoa

2. Mikä geometrinen konstruktio muodostaa funktion L ?


Kommenttisi Tehtävään I Arvoitus 5:

II Opiskelijapalaute

Lisähyvitys 2 pistettä.

Pyydämme Sinua kertomaan mitä pidät tällaisista tehtävistä ja työarkeista matematiikan opiskelun tukena ja välineenä.



Tällaisista työarkeista kiinnostuneet
voivat ottaa yhteyttä:
Martti.Pesonen@Joensuu.Fi