Lineaarialgebra

Dynaaminen työarkki 4: Lineaarikuvaukset tasossa II (ratkaisut)

- lineaarisuus-ominaisuus ja matriisiesitys
- ominaisarvot ja ominaisvektorit
Itse tehtäväarkki Lineaarikuvaus2.htm)
HYVÄ OPISKELIJA
Tämä lomake sisältää opettajan ratkaisut.

HYVÄ VIERAILIJA
Myös sivullamme vierailijat ovat tervetulleita lähettämään vastauksiaan ja kommenttejaan lomakkeen lopussa näkyvään osoitteeseen.

Työarkin tarkoitus
Tämän työarkin tarkoituksena on vahvistaa seuraavien käsitteiden ymmärtämistä:
funktion lineaarisuus
lineaarikuvauksen matriisiesitys
ominaisarvo ja ominaisvektori.


Sisältö

Lyhyet perusohjeet
II Matriisiesitys
III Ominaisarvot ja -vektorit

IV Opiskelijapalaute

Lyhyet perusohjeet

Tämä esimerkkitaulu kuvaa tavallista tasovektorien yhteenlaskua +, skalaareilla kertomista (eräs skaalausfunktio) ja lineaarikombinaatioita.
This page requires a Java capable browser. Näissä JavaSketchpad applet-konstruktioissa, joita tässä kutsumme tauluiksi, voit yleensä vetää (liikutella hiirellä) värillisiä peruspisteitä, joihin konstruktiot nojaavat.
Punainen piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2, kun taas punainen piste c suoralla kuvaa reaaliskalaaria (lukua) reaaliakselilla R.
Tulosvektori u+v on parin (u,v) kuva tavallisen koordinaateittaisen vektorien yhteenlaskun suhteen ja cu parin (c,u) kuva skalaarillakertomiskuvauksessa.

Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

II Lineaarikuvaukset: Matriisiesitys

Tässä osassa tarkastelemme tason V : = R2 vektorien ja erilaisten kuvioiden kuvautumista lineaarikuvauksissa. Erityisesti tutkimme kuvauksen matriisin vaikutusta kuvaukseen.

Opastusta

II Taulu 1: vain muuttujavektori u ja kuva L(u) näytetään.

II Taulu 2: voit lisäksi käyttää eräitä animaatioita. Lienee hyödyllisintä katsoa kutakin ilmiötä erikseen - käytä tarpeen mukaan piilotusnappuloita (Hide).

II Taulu 3: nyt käytössäsi on myös kuvauksen matriisi A = AL ja sen determinantti det(A). Matriisin alkioita säädetään liu'uttamalla niitä vastaavia pisteitä a, b, c, d taulun alaosan reaaliakselilla.

II Taulu 4: lopulta käytössäsi on matriisi A = AL, determinantti det(A), jälki tr(A) ja ominaisarvot eig(A). Matriisin alkioita säädetään liu'uttamalla niitä vastaavia pisteitä a, b, c, d taulun alaosan reaaliakselilla.

TASON LINEAARIKUVAUKSEN MATRIISIESITYS
Kun   L:n 2x2-matriisi Aja   tasovektori u,
funktio    tason lineaarikuvaus L määritellään
L(u)  =  u:n kuva:=   =  matriisitulo=  Au.
Muistetaanhan vielä, miten lineaarikuvauksen matriisi määritetään laskemalla?
Siis: standardin kannan kuvat ovat esitysmatriisin sarakkeina!
Edelleen, 2x2-matriisin A determinantti on luku
det(A) = ad - bc,
ja jälki on diagonaalialkioiden summa
tr(A) = a + d.
Skalaari c on lineaarikuvauksen L (ja sen matriisin) ominaisarvo (eigenvalue), jos jollekin nollavektorista poikkeavalle vektorille u pätee
L(u) = cu.
Ehdon toteuttavaa ei-nollavektoria u sanotaan (kyseiseen ominaisarvoon liityväksi) ominaisvektoriksi.

II Tehtävät 1. Tässä Taulussa näkyy vedeltävä muuttujavektori u ja sen kuva L(u). Voit näyttää/piilottaa janoja sekä jäljitystoimintoa Trace.
Voit käyttää yläosassa olevaa janaa PQ apuvälineenä.
Maksimi 6 pistettä. 		Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella.
Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (reset).
Jäljitys pyyhitään painamalla punaista ristiä oikeassa alalaidassa.
This page requires a Java capable browser. Käyttäen vaikkapa jäljitystä:
a) Mikä geometrinen kuvio on suoran kuva kuvauksessa L?

b) Mikä on neliön kuva kuvauksessa L?

c) Kun kierrät vektoria u origon ympäri vastapäivään, kuinka kuvapiste käyttäytyy?
Käyttäen jäljitystä tai apujanaa PQ:
d) Mitkä pisteet kuvautuvat pystyakselille?

e) Mitkä vektorit u ovat yhdensuuntaisia kuvan L(u) kanssa?

f) Löytyykö kiintopisteitä, ts. pisteitä u, joille u = L(u)? Mitkä?

Kommenttisi II Tehtäviin 1:

II Tehtävät 2. Tässäkin Taulussa näkyy vedeltävä muuttujavektori u, sen kuva L(u) ja tarpeen tullen koordinaatit. Voit lisäksi käyttää eräitä animaatioita. Lienee hyödyllisintä katsoa kutakin ilmiötä erikseen - käytä tarpeen mukaan piilotusnappuloita (Hide).
Maksimi 6 pistettä. 		Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella.
Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (reset).
Edelleen voit näyttää/piilottaa janoja, jäljitystoimintoa Trace sekä yläosassa olevaa janaa PQ.
Jäljitys pyyhitään painamalla punaista ristiä oikeassa alalaidassa.
This page requires a Java capable browser. Käyttäen jäljitystä tai animointeja (ks. silloin Locus):
a) Mikä geometrinen kuvio on ympyrän kuva kuvauksessa L?

b) Mikä on janan kuva kuvauksessa L?

c) Mitkä ovat standardien kantavektorien (1 0)T (0 1)T kuvat kuvauksessa L (ks. koordinaatit)?
L(1 0)T =
L(0 1)T =
d) Mikä on kuvauksen L matriisi?

e) Mitkä vektorit u ovat yhdensuuntaisia kuvan L(u) kanssa?

f) Mitkä ovat kuvauksen L kiintopisteet (ts. pisteet u, joille u = L(u))?

Kommenttisi II Tehtäviin 2:

II Tehtävät 3. Tässä Taulussa näet vektorit u ja L(u) ja nyt käytössäsi on animaatioiden ja koordinaattien lisäksi kuvauksen matriisi A = AL ja sen determinantti det(A).
Matriisin alkioita säädetään liu'uttamalla niitä vastaavia pisteitä a, b, c, d taulun alaosan reaaliakselilla. Tämä merkitsee, että voit muuttaa funktiota L.
Maksimi 6 pistettä. 		Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella.
Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (reset).
Voit näyttää/piilottaa janoja sekä jäljitystoimintoa Trace.
Jäljitys pyyhitään painamalla punaista ristiä oikeassa alalaidassa.
Säätelemällä matriisin alkioiden arvoja saat aikaan kaikenlaisia lineaarikuvauksia.
This page requires a Java capable browser. a) Mitä geometrisia kuvioita ympyröiden kuvat voivat lineaarikuvauksissa olla?

b) Mitä geometrisia kuvioita janojen kuvat voivat lineaarikuvauksissa olla?

c) Mikä on determinantin arvo, kun ympyrän kuva on jana?
det(A) =
d) Siirrä animointiympyrä niin, että origo jää sen sisälle ja käynnistä animointi. Mitä eroa on determinanteilla tilanteissa, joissa kuva L(u) kiertää origoa samaan vs. vastakkaiseen suuntaan verrattuna vektoriin u?

e) Palauta Taulu alkutilaan (reset = paina kirjain 'R'). Muuttamatta matriisia selvitä Taulun avulla kuvauksen (ja samalla matriisin) ominaisarvot ja ominaisvektorit:
eigval1(L) = , eigvect1(L) =
eigval2(L) = , eigvect2(L) =
f) Onko seuraava väite tosi:
Jos matriisin determinantti on positiivinen, matriisilla ei ole reaalisia ominaisarvoja.
Jos on tosi, todista se, muutoin kehitä vastaesimerkki!

Kommenttisi II Tehtäviin 3:

II Tehtävät 4. Tässä Taulussa näet vektorien ja animaatioiden, matriisin ja determinantin lisäksi matriisin jäljen tr(A) ja ominaisarvot eig(A).
Jälleen matriisin alkioita säädetään liu'uttamalla niitä vastaavia pisteitä a, b, c, d taulun alaosan reaaliakselilla. Tämä merkitsee, että voit muuttaa funktiota L.
Maksimi 6 pistettä. 		Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella.
Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (reset).
Voit näyttää/piilottaa janoja sekä jäljitystoimintoa Trace.
Jäljitys pyyhitään painamalla punaista ristiä oikeassa alalaidassa.
Säätelemällä matriisin alkioiden arvoja saat aikaan kaikenlaisia lineaarikuvauksia.
This page requires a Java capable browser. a) Miten vaikuttaa pelkästään luvun b arvon muuttelu?

b) Palauta alkutilaan ('R') ja aloita ympyräanimaatio. Säädä matriisin alkiot niin, että ympyrän kuva on jana. Mitä ovat luvut
det(A) =
eigval1(A) =
eigval2(A) =
c) Mikä on kuvauksen ydin?
ker(L) =
d) Etsi matriisi A, joka kuvaa ympyrän samankokoiselle ympyrälle.

e) Mikä on matriisisi determinantti?
det(A) =
f) Keksi yksinkertainen yhteys ympyrän ja kuvaympyrän (tai ellipsin) pinta-aloille.

Kommenttisi II Tehtäviin 4:

III Lineaarikuvaukset: Ominaisarvot

Tarkastellaan vielä matriisien ja tason lineaarikuvausten ominaisarvoja, myös ei-reaalisessa tilanteessa.
Kerrataan määritelmiä ja miten 2x2-matriisin ominaisarvot lasketaan:
OMINAISARVOJEN LASKEMINEN
2x2-matriisin
A : = æ
ç
è
a
b
c
d
 ö
÷
ø
ominaisarvot ovat reaaliset tai kompleksiset karakteristisen yhtälön
0 = det(A - lI) = (a - l)(d - l) - bc = l2 - (a+d)l+ (ad - bc),
ratkaisut, ja pienillä sievennyksillä saamme
eig(A) = l1,2 = 1
2
 æ
è 		a+d ±   __________
Ö(a-d)2 + 4bc
 
 ö
ø 		.

III Tehtävät 1: Ominaisarvot matriisin alkioiden funktiona
Taulu esittää nyt kompleksitasoa, jossa matriisin ominaisarvot E1 ja E2 ovat reaaliakselilla R, mikäli ne ovat reaalisia, ja eroavat vaaka-akselista aina, kun imaginaariosa poikkeaa nollasta. Tarkastelun helpottamiseksi ominaisarvot on yhdistetty keltaisella janalla.
Maksimi 4 pistettä. 		Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella.
Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

Näissä Tauluissa voit vaihdella matriisia liikuttelemalla joitakin skalaareista a, b, c, d reaaliakselilla.

This page requires a Java capable browser. Aloitetaan tarkastelemalla 2x2-matriisin
A : = æ
ç
è
a
b
c
d
 ö
÷
ø
karakteristisen yhtälön
l2 - (a+d)l+ (ad - bc) = 0
juuria. Pidetään tässä a, c and d kiinteinä (niitä ei edes näytetä reaaliakselilla!) ja muutellaan luvun b arvoja.
a) Millä arvo(i)lla b ovat ominaisarvot samat, ts. kyseessä on kaksoisjuuri?
"Kokeellisesti" Taulun mukaan
b =
b) Varmista tuloksesi ja arvojen lukumäärä laskemalla (ks. kaava):

c) Millainen kuvio kompleksitasoon syntyy, kun luku b pyyhkii läpi reaaliakselin (apunasi vaikkapa jäljitys)?

Kommenttisi III Tehtäviin 1:

III Tehtävät 2: Ominaisarvot matriisin alkioiden funktiona
Taulu esittää taas kompleksitasoa, jossa matriisin ominaisarvot E1 ja E2 ovat reaaliakselilla R, mikäli ne ovat reaalisia, ja eroavat vaaka-akselista aina, kun imaginaariosa poikkeaa nollasta. Tarkastelun helpottamiseksi ominaisarvot on yhdistetty keltaisella janalla.
Maksimi 4 pistettä. 		Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella.
Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

Näissä Tauluissa voit vaihdella matriisia liikuttelemalla joitakin skalaareista a, b, c, d reaaliakselilla.

This page requires a Java capable browser. Tarkastellaan edelleen 2x2-matriisin
A : = æ
ç
è
a
b
c
d
 ö
÷
ø
karakteristisen yhtälön
l2 - (a+d)l+ (ad - bc) = 0
juuria. Pidetään tässä b, c and d kiinteinä (niitä ei edes näytetä reaaliakselilla!) ja muutellaan luvun a arvoja.
a) Millä arvo(i)lla a ovat ominaisarvot samat, ts. kyseessä on kaksoisjuuri?
"Kokeellisesti" Taulun mukaan
a =
b) Varmista tuloksesi ja arvojen lukumäärä laskemalla (ks. kaava):

c) Millainen kuvio kompleksitasoon syntyy, kun luku a pyyhkii läpi reaaliakselin (apunasi vaikkapa jäljitys)?

Kommenttisi III Tehtäviin 2:

III Tehtävät 3: Ominaisarvot matriisin alkioiden funktiona
Taulu esittää taas kompleksitasoa, jossa matriisin ominaisarvot E1 ja E2 ovat reaaliakselilla R, mikäli ne ovat reaalisia, ja eroavat vaaka-akselista aina, kun imaginaariosa poikkeaa nollasta. Tarkastelun helpottamiseksi ominaisarvot on yhdistetty keltaisella janalla.
Maksimi 4 pistettä. 		Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella.
Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

Tässä Taulussa voit vaihdella matriisia liikuttelemalla kaikkia skalaareita a, b, c, d reaaliakselilla.

This page requires a Java capable browser. Tarkastellaan edelleen 2x2-matriisin
A : = æ
ç
è
a
b
c
d
 ö
÷
ø
karakteristisen yhtälön
l2 - (a+d)l+ (ad - bc) = 0
juuria.
a) Millaisilla arvopareilla b,c ominaisarvot ovat reaalisia riippumatta lukujen a ja d arvoista?
"Kokeellisesti" Taulun mukaan:

b) Varmista tuloksesi laskemalla (ks. kaava):

c) Säädä matriisi sellaiseksi, että kun pari b,c pidetään vakioina, niin lukua a (tai d) siirtelemällä jää ominaisarvoista ympyränmuotoinen jälki. Millä arvopareilla a,d ominaisarvojen imaginaariosat ovat itseisarvoiltaan suurimmillaan?

Kommenttisi III Tehtäviin 3:

III Tehtävät 4: Lineaarikuvauksen ominaisarvot
Nyt sama Taulu esittää toisaalta euklidista tasoa R2, toisaalta taas kompleksitasoa C. Tasossa on vektori u ja sen kuva kuvauksessa L. Ominaisarvot E1 ja E2 ovat kompleksitason vaaka-akselilla R, mikäli ne ovat reaalisia, ja eroavat vaaka-akselista aina, kun imaginaariosa poikkeaa nollasta. Tarkastelun helpottamiseksi ominaisarvot on yhdistetty keltaisella janalla.
Maksimi 4 pistettä. 		Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella.
Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

Näissä Tauluissa voit vaihdella kuvauksen matriisia liikuttelemalla skalaareja a, b, c, d reaaliakselilla.

This page requires a Java capable browser.
a) Kuvaile yksittäisten lukujen a, b, c ja d vaikutusta (kiinteänä pidettävän) vektorin u kuvaan: b) Reset ('R') Taulu ja pidä tässä a, c and d kiinteinä. Käytä jana-animoitia ja Locusta: Millä arvoilla b on mahdollista valita animointijana niin, että sen kuva on yhdensuuntainen animointijanan kanssa? Kokeile ensin useilla arvoilla b, esimerkiksi b = 4, b = 0, b = -3. Keksitkö sitten yleisen säännömukaisuuden (ks. taas tarvittaessa kaava): c) Valitse näkyviin janat O-u, O-L(u) ja u-L(u), jolloin muodostuu kolmio O-u-L(u)-O. Mitä ominaisarvoista selviää jo pelkästään tätä kolmiota tutkimalla, kun vektoria u kierretään origon ympäri?

Kommenttisi III Tehtäviin 4:

III Tehtävät 5: Lineaarikuvauksen aste
Taulu esittää edelleen toisaalta euklidista tasoa R2, toisaalta taas kompleksitasoa C. Tasossa on vektori u ja sen kuva kuvauksessa L. Ominaisarvot E1 ja E2 ovat kompleksitason vaaka-akselilla R, mikäli ne ovat reaalisia, ja eroavat vaaka-akselista aina, kun imaginaariosa poikkeaa nollasta. Tarkastelun helpottamiseksi ominaisarvot on yhdistetty keltaisella janalla.
Maksimi 4 pistettä. 		Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella.
Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (restart).

Näissä Tauluissa voit vaihdella kuvauksen matriisia liikuttelemalla skalaareja a, b, c, d reaaliakselilla.

This page requires a Java capable browser. This page requires a Java capable browser.
a) Hae luvuille a, b, c ja d arvot, joilla jokin ympyrä kuvautuu janaksi. Voit käyttää ympyräanimoinnin, Locuksen ja säätelyn yhdistelmiä.
Anna lukuvalintojasi vastaavat:
a = b =
c = d =
det(A) =
Matriisin aste =
b) Mikä oli kuva-avaruuden dimensio?
dimL(R2) =
Ytimen dimensio?
dim(ker(L)) =
c) Resetoi kaikki. Valitse b = c = 3 ja anna animointiympyrän olla se mikä on. Etsi matriisi, jonka määräämässä lineaarikuvaksessa ympyräanimointiympyrän kuva on ympyrä.
a = d =
d) Mitä voit sanoa samassa kuviossa olevista ominaisarvoista? Onko ilmiö sattumaa?

Kommenttisi III Tehtäviin 5:

IV Opiskelijapalaute

Tällaisista työarkeista kiinnostuneet
voivat ottaa yhteyttä:
Martti.Pesonen@Joensuu.Fi