Lineaarialgebra

Aksioomien merkitystä illustroiva esimerkki

Tehtävänä on kuvata vektoriavaruuden aksiooman (iii) ominaisuuksien A1-A8 geometristä merkitystä tasovektorien tavallisten vektori-vektori- ja skalaari-vektori-operaatioiden tapauksessa.

Tehtävä jakaantuu kolmeen Tauluun.


TAULU 1, laskusäännöt A1 (vaihdannaisuus) ja A2 (liitännäisyys)

Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan tavallisen vektoriavaruuden aksiooman (iii) kohtia A1 ja A2. Siinä siis + on tasovektorien u ja v tavallinen yhteenlasku.

This page requires a Java capable browser.

Taulun 1 käyttöohjeet

Voit liikutella Taulun pisteitä u, v ja w.

A1 Vaihdannaisuus: u + v = v + u

Vaihdannaisuuden merkitys pitäisi näkyä verrattaessa Taulun nappuloiden "u + v" ja "v + u" tuottamia kuvioita.

A2: Liitännäisyys: (u + v) + w = u + (v + w)

Liitännäisyyttä voi myös tutkia nappuloiden avulla. Huomaa, että reitit tulosvektorin kärkeen ovat erilaiset jokaisessa kolmessa tapauksessa. Mitä muita reittejä voi käyttää? Siinä voivat olla avuksi kohdan A1 nappulat!

TAULU 2, vaatimus A3 (neutraalialkion olemassaolo) ja A4 (vasta-alkioiden olemassaolo)

Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan tavallisen vektoriavaruuden aksiooman (iii) kohtia A3 ja A4. Siinä siis + on tasovektorien u ja v tavallinen yhteenlasku.

This page requires a Java capable browser.

Taulun 2 käyttöohjeet

Voit liikutella Taulun pisteitä u ja e.

A3 Neutraalialkion e olemassaolo ja merkitys

Oltava u + e = e + u = u kaikilla u.

Illustrointi perustuu yhtälön ratkaisumahdollisuuteen. Siirrä e kohtaan, jossa yhtälö u + e = u toteutuu, olet löytänyt neutraalialkion eli nollavektorin. Samalla löydät myös vektorin u vasta-alkion!

A4 Vasta-alkioiden olemassaolo ja merkitys

Kullakin alkiolla u "kaveri" -u, joille u + (-u) = e.

Ks. A3.


TAULU 3, laskusäännöt A5-A8

Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan tavallisen vektoriavaruuden aksiooman (iii) kohtia A5-A8. Siinä siis

+ on tasovektorien u ja v tavallinen yhteenlasku,
* on tavallinen skalaarilla kertominen.


This page requires a Java capable browser.

Taulun 3 käyttöohjeet

Voit liikutella Taulussa tason pisteitä u, v ja reaaliakselin pisteitä c ja d. Muista käyttää Hide-nappuloita, jottei kuviosta tule liian sekava!

A5 sekaosittelulaki I: c*(u + v) = c*u + c*v

A6 sekaosittelulaki II: (c+d)*u = c*u + d*u

Huomaa, että toinen tulos on selkeyden vuoksi hiukan kierretty (rotated)!

A7 sekaliitäntälaki: c*(d*u) = (cd)*u

Huomaa, että toinen tulos on selkeyden vuoksi hiukan kierretty (rotated)!

A8 skaalauksen normitus: 1*u = u

Nappulan "c*u" avulla.

Tällaisista työarkeista kiinnostuneet
voivat ottaa yhteyttä:
Martti.Pesonen@Joensuu.Fi