Analyysi I

Funktiodemot

- Mikä on funktio?
HYVÄ OPISKELIJA
Tämä työarkki on WWW-lomake, joka lähettää valitsemasi tai kirjoittamasi vastaukset opettajalle sähköpostina, kun painat dokumentin lopussa olevaa Lähetä-nappia.
Tekniset viat ovat aina mahdollisia, joten tee varalta muistiinpanot vastauksistasi kohta kohdalta myös paperille!
Etäkäyttäjälle: Voit ladata ja tallettaa dokumentin koneellesi, sulkea Internet-yhteyden, ratkaista tehtävät, luoda Internet-yhteyden uudelleen ja lähettää vastauksesi. Älä kuitenkaan siirry dokumentista muulle sivulle samalla selainistunnolla, voit menettää työsi tuloksen!
Kun olet käsitellyt tehtävät, painat vain lomakkeen lopussa olevaa Lähetä-nappia.

Älä poistu tältä sivulta ennenkuin olet vastannut ja lähettänyt tuotoksesi.

Jos on aivan pakko lopettaa kesken, niin lähetä se mitä siihen mennessä sait aikaan. Palaa myöhemmin tehtävien pariin ja lähetä vastauksesi jäljellä oleviin tehtäviin.

Tehtävistä pitäisi selviytyä kahdessa tunnissa. Demo vastaa normaalia viittä viikoittaista kotilaskutehtävää, ja vastaukset arvostellaan tyyliin "tehty, jos jotain järjelliseksi luokiteltavaa on esitetty".

On suositeltavaa ratkoa tehtävät vaikkapa parityöskentelynä.
Kirjoittakaa alle oleviin rekisteröintitietoihin kuitenkin vain yhden henkilön tiedot ja ilmoittakaa toinen/muut dokumentin lopussa olevassa Palaute-osassa.


HYVÄ VIERAILIJA
Myös sivullamme vierailijat ovat tervetulleita lähettämään vastauksiaan ja kommenttejaan lomakkeen lopussa näkyvään osoitteeseen.

Nimi: 
Opiskelijanumero: 
Sähköpostiosoite: 

Työarkin tarkoitus
Tämän työarkin tarkoituksena on vahvistaa käsitteen funktio ymmärtämistä.

Erityisesti kohteena on

- määrittelyjoukon ja maalijoukon rooli
- funktioon liittyvän, edellisiä yhhdistävän säännön erilaiset esitysmuodot

Sisältö

I Funktion määritelmä
II Reaalifunktioiden graafisesta esittämisestä
III Reaalimuuttujan vektoriarvoisista funktioista
IV Opiskelijapalaute

I Funktion määritelmä: lähtöjoukko - sääntö - maalijoukko

A. Funktion määritelmä

Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja.
Funktio eli kuvaus joukosta X joukkoon Y on (jollakin tavalla annettu tai olemassaolevaksi sovittu) sääntö, joka liittää jokai(ki)seen X:n alkioon yksikäsitteisesti määrätyn alkion joukosta Y.
Joukko X on funktion lähtö- eli määrittelyjoukko ja Y on sen maalijoukko.

Lähtöjoukon osajoukon A kuva(joukko) on joukko

f(A) = {f(x) | x ∈ A}.
Koko lähtöjoukon X kuvajoukkoa f(A) sanotaan funktion arvojoukoksi.

Maalijoukon osajoukon B alkukuva(joukko) on

f -1(B) = {x ∈ A | f(x) ∈ B}.

Tuo funktiolle ominainen sääntö voi olla esitetty mm.
kuviona tai kaaviona,
sanallisesti,
vastaavuustaulukkona,
vastaavuusluettelona, esim. luettelemalla relaation X × Y alkiot (x,f(x)),
arvojen määrittely jonkin lausekkeen avulla tai
ilmaiseminen implisiittisesti yhtälön avulla.

B. Funktion esitystapoja

Seuraavissa kuvioissa SÄÄNTÖ-nappulan painallus tuo itse säännön esiin graafisena animaationa.
Lähtöjoukko-maalijoukkokaavio
Esimerkki
This page requires a Java capable browser. Ohessa on kuvattu graafisesti eräs joukkojen X ja Y välinen sääntö, joka määrää funktion joukosta X joukkoon Y. Sääntö voidaan esittää symbolimuodossa
f(n) = n + 1,
sanallisesti
"Muuttujaan (lähtöjoukon alkioon) lisätään yksi"
ja luettelona
f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4.
Lähtöjoukko-maalijoukkokaavio
Tehtävä 1
Ohessa on kuvattu eräs joukkojen X ja Y välinen sääntö.
This page requires a Java capable browser.
a) Onko kyseessä funktio joukosta X joukkoon Y? kyllä ei ei tietoa
b) Jos ei ole funktio, selitä miksi:
c) Esitä sääntö symbolimuodossa.
f(n) =
d) Esitä sääntö sanallisessa muodossa.
Lähtöjoukko-maalijoukkokaavio
Tehtävä 2
Ohessa on kuvattu eräs joukkojen X ja Y välinen sääntö.
This page requires a Java capable browser.
a) Onko kyseessä funktio joukosta X joukkoon Y? kyllä ei ei tietoa
b) Jos ei ole funktio, selitä miksi:
c) Esitä sääntö symbolimuodossa.
f(n) =
d) Esitä sääntö sanallisessa muodossa.
Lähtöjoukko-maalijoukkokaavio
Tehtävä 3
Ohessa on kuvattu eräs joukkojen X ja Y välinen sääntö.
This page requires a Java capable browser.
a) Onko kyseessä funktio joukosta X joukkoon Y? kyllä ei ei tietoa
b) Jos ei ole funktio, selitä miksi:
c) Esitä sääntö luettelomuodossa.
d) Esitä sääntö sanallisessa muodossa.
Lähtöjoukko-maalijoukkokaavio
Tehtävä 4
Ohessa on kuvattu eräs joukkojen X ja Y välinen sääntö.
This page requires a Java capable browser.
a) Onko kyseessä funktio joukosta X joukkoon Y? kyllä ei ei tietoa
b) Jos ei ole funktio, selitä miksi:
c) Esitä sääntö luettelomuodossa.
d) Esitä sääntö sanallisessa muodossa.

C. Bijektio

Bijektioksi sanotaan funktiota, jolla on seuraavat ominaisuudet
  1. mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle (injektiivisyys),
  2. jokaiselle maalijoukon alkiolle kuvautuu jokin lähtöjoukon alkio (surjektiivisuus).
Seuraavassa kuviossa saat säännön esille ANIMOI-nappulalla tai siirrellen hiirellä muuttujaa x.
Lähtöjoukko ja maalijoukko akseleilla
Tehtävä 5
Ohessa on kuvattu eräs joukkojen X ja Y välinen sääntö.
This page requires a Java capable browser.
a) Onko kyseessä funktio joukosta X joukkoon Y? kyllä ei ei tietoa
b) Jos ei ole funktio, selitä miksi:
c) Esitä sääntö symbolimuodossa.
f(n) =
d) Miten saat tilannetta sopivasti rajoittamalla aikaan bijektion?

II Reaalifunktioiden graafisesta esittämisestä

Tarkastellaan yhden reaalimuuttujan funktiota f: R ® R eräällä välillä.
Seuraavat dynaamiset kuviot näyttävät, kuinka reaalimuuttuja x ja sen reaalinen kuvaf(x) voidaan esittää toisaalta funktion määritelmän valossa, toisaalta käyränä tasokoordinaatistossa. Molemmilla esityksillä on omat hyvät puolensa.

A. Yksiulotteinen visualisointi: lähtöjoukko-sääntö-maalijoukko

Seuraavissa kuvioissa on monenlaisia kontrollinappuloita ym. välineitä.
Yleensä ainakin muuttujaa x voi liikutella hiirellä.
Jäljet saa pyyhityksi pois kuvion oikean alareunan nappulalla x.
Kaikkia kannattaa kokeilla ennakkoluulottomasti!
Reaalifunktiot: akseli-akseliesitys
Tehtävä 6
Ohessa on kuvattu eräs reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio, jota tarkastelemme nyt kuviossa näkyvällä välillä.
This page requires a Java capable browser.
a) Mikä on funktion arvo pisteessä 2 ?
b) Missä pisteessä funktio saa arvon 1 ?
c) Mikä on funktion pienin arvo?
d) Mikä on funktion suurin arvo?
e) Mitä arvoja funktio saa, ts. mikä on sen arvojoukko?
f) Mikä on välin [0,1] kuvajoukko?

Reaalifunktiot: akseli-akseliesitys
Tehtävä 7
Ohessa on kuvattu eräs reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio, jota tarkastelemme nyt kuviossa näkyvällä välillä, mutta myös ounastelemme yleisempää käytöstä.
This page requires a Java capable browser.
a) Mikä on funktion arvo pisteessä 2 ?
b) Onko funktio jatkuva? kyllä ei ei tietoa
c) Mikä on funktion raja-arvo 2:ssa lähestyttäessä oikealta?
d) Mikä on funktion raja-arvo 2:ssa lähestyttäessä vasemmalta?
e) Mikä lienee funktion raja-arvo äärettömässä?
f) Mikä lienee funktion raja-arvo negatiivisessa äärettömässä?
Reaalifunktiot: akseli-akseliesitys
Tehtävä 8
Ohessa on kuvattu eräällä välillä määritelty reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio.
This page requires a Java capable browser.
a) Mikä on funktion määrittelyjoukko?
b) Mikä on funktion arvojoukko?
c) Onko funktio monotoninen, ts. koko määrittelyjoukossa kasvava, tai koko määrittelyjoukossa vähenevä? kyllä ei ei tietoa
d) Selitä edellistä vastaustasi!
e) Onko funktio jatkuva? kyllä ei ei tietoa
Reaalifunktiot: akseli-akseliesitys
Tehtävä 9
Ohessa on kuvattu eräällä välillä määritelty reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio.
This page requires a Java capable browser.
a) Mikä on funktion määrittelyjoukko?
b) Mikä on funktion arvojoukko?
c) Missä funktio on kasvava, missä vähenevä?
d) Onko kyseessä bijektio, kun maalijoukoksi asetetaan arvojoukko? kyllä ei ei tietoa
Reaalifunktiot: akseli-akseliesitys
Tehtävä 10
Ohessa on kuvattu eräs reaalimuuttujaa x koskeva tilanne.
This page requires a Java capable browser.
a) Onko kyseessä reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio? kyllä ei ei tietoa
b) Selitä edellistä vastaustasi!
Reaalifunktiot: akseli-akseliesitys
Tehtävä 11
Ohessa on kuvattu eräs reaalimuuttujaa x koskeva tilanne.
This page requires a Java capable browser.
a) Onko kyseessä reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio? kyllä ei ei tietoa
b) Selitä edellistä vastaustasi!

Kokoaminen (Tehtävä 12)

Mihin seuraavista funktiota koskevista asioista edellä käytetty visualisointi sopii mielestäsi hyvin, mihin huonosti tai ei ollenkaan?
1. Funktion arvojen määrittäminen. hyvin huonosti ei ollenkaan
2. Määrittely- ja arvojoukkojen selvittäminen. hyvin huonosti ei ollenkaan
3. Lähtöjoukko-sääntö-maalijoukko kolminaisuuden ymmärtäminen. hyvin huonosti ei ollenkaan
4. Bijektiivisyyden selvittäminen. hyvin huonosti ei ollenkaan
5. Kasvavuuden/vähenevyyden selvittäminen. hyvin huonosti ei ollenkaan
6. Maksimien ja minimien etsiminen. hyvin huonosti ei ollenkaan
7. Tehtävän "onko funktio rajoitettu?" ratkaiseminen. hyvin huonosti ei ollenkaan
8. Jaksollisuuden tutkiminen. hyvin huonosti ei ollenkaan
9. Jatkuvuuden tutkiminen. hyvin huonosti ei ollenkaan
10. Funktion derivoituvuuden tutkiminen. hyvin huonosti ei ollenkaan
11. Derivaatan merkin tutkiminen. hyvin huonosti ei ollenkaan
12. Mihin se sopii erityisen hyvin/huonosti?

B. Esittäminen tasokäyränä

Lienee ilmeistä, että yksiulotteinen esitystapa on monessa suhteessa köyhä analysointiväline.
Niinpä yhden muuttujan funktiota käsitelläänkin yleensä relaationa, karkeasti sanoen järjestettyinä pareina (x,f(x)). Itse asiassa tällainen esitystapa on ikivanha, nimittäin esittäminen havainnollisemmin kaksiulotteisessa koordinaatistossa.
Reaalifunktiot: koordinaatisto
Tehtävä 13
Ohessa on kuvattu eräs reaalimuuttujaa x koskeva tilanne.
This page requires a Java capable browser.

Paina nappia "KOORDINAATISTOKSI" ja selvitä esityksen avulla mitä seuraavista ominaisuuksista funktiolla on:

a) Funktio on kasvava välillä [1,2]. kyllä ei ei tietoa
b) Funktiolla on välillä [4,5] maksimiarvo. kyllä ei ei tietoa
c) Funktio on jatkuva näkyvällä välillä. kyllä ei ei tietoa
d) Funktio on jaksollinen. kyllä ei ei tietoa
e) Funktio on derivoituva välillä [0,1]. kyllä ei ei tietoa
f) Funktion derivaatta pisteessä 1 on negatiivinen. kyllä ei ei tietoa
g) Funktiolla on derivoitumattomuuspisteitä. kyllä ei ei tietoa
h) Funktiolla on käännepisteitä. kyllä ei ei tietoa
Reaalifunktiot: arvot ja kuvaaja
Tehtävä 14
Ohessa on kuvattu eräs reaalimuuttujaa x koskeva tilanne koordinaatistossa.
This page requires a Java capable browser.

Selvitä, mitkä ovat totta:

a) Funktio on kasvava välillä [1,2]. kyllä ei ei tietoa
b) Funktiolla on välillä [4,5] maksimiarvo. kyllä ei ei tietoa
c) Funktio on jatkuva näkyvällä välillä. kyllä ei ei tietoa
d) Funktio on jaksollinen. kyllä ei ei tietoa
e) Funktio on derivoituva välillä [0,1]. kyllä ei ei tietoa
f) Funktion derivaatta pisteessä 1 on negatiivinen. kyllä ei ei tietoa
g) Funktiolla on derivoitumattomuuspisteitä. kyllä ei ei tietoa
8h) Funktiolla on käännepisteitä. kyllä ei ei tietoa
Reaalifunktiot: arvot ja kuvaaja
Tehtävä 15
Ohessa on kuvattu eräs reaalimuuttujaa x koskeva tilanne koordinaatistossa.
This page requires a Java capable browser.
a) Mikä on funktion arvo pisteessä 2 ?
b) Onko funktio jatkuva? kyllä ei ei tietoa
c) Mikä on funktion raja-arvo 2:ssa lähestyttäessä oikealta?
d) Mikä on funktion raja-arvo 2:ssa lähestyttäessä vasemmalta?
e) Mikä lienee funktion raja-arvo äärettömässä?
f) Mikä lienee funktion raja-arvo negatiivisessa äärettömässä?

C. Esimerkkejä

Seuraavassa muutamia alkeisfunktioita koskevia tehtäviä.
Reaalifunktiot: potenssi ja juuri xr
Tehtävä 16
Ohessa on kuvattu potenssi- ja juurifunktioita.
This page requires a Java capable browser.

Selvitä seuraavat asiat:

a) Millä arvoilla r käyrä y = xr on kasvava ?
b) Millä arvolla r käyrä y = xr kulkee pisteen (3,2) kautta ?
c) Millä arvoilla r käyrät y = xr ja y = x1/r ovat samat ?
d) Millä arvoilla r käyrät y = xr ja x1/r ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen?

Reaalifunktiot: eksponenttifunktiot ax
Tehtävä 17
Ohessa on kuvattu eksponenttifunktioita.
This page requires a Java capable browser. Kantaluvun a arvoa voi säätää alareunan parametriakselilla, jossa on merkittynä Neperin luku e.
a) Millä arvoilla a käyrä y = ax on kasvava ?
b) Millä arvolla a käyrä y = ax kulkee pisteen (3,2) kautta?
c) Millä arvolla a käyrä y = ax on käyrän y = ex peilikuva pystyakselin suhteen ?
d) Millaisilla arvoilla a ohjelmalle tulee ylivuotoa?

Reaalifunktiot: Logaritmit logax
Tehtävä 18
Yleistä kantalukua a olevan eksponenttifunktion x -> ax käänteisfunktio on a-kantainen logaritmi, jossa kukin aidosti positiivinen luku x kuvautuu sille reaalivulle y = logax, jolle ay = x.
Erityisesti siis ln = loge.
This page requires a Java capable browser. Saat nappuloilla esiin yleisen a-kantaisen logaritmin loga. Vertailun vuoksi mukana on erikseen kiinnitettynä luonnollinen logaritmi x -> ln x.
Kantaluvun a arvoa voi säätää alareunan parametriakselilla, jossa on merkittynä Neperin luku e ja Briggsin kantaluku 10 (miten saat näkyviin?!).
a) Millä arvoilla a ja x logaritmi logax on määritelty?
b) Millä arvoilla a funktio y = logax on vähenevä ?
c) Millä arvolla a käyrä y = logax kulkee pisteen (2,-1) kautta ?
d) Millä arvoilla a käyrät y = ln x ja y = logax ovat toistensa peilikuvia (sopivan suoran suhteen)? Mikä on tällöin luvun a tarkka arvo ?
e) Millä arvolla a käyrä y = logax muuttuu pystysuoraksi ?

III Reaalimuuttujan vektoriarvoisista funktioista

Kun kaksi reaalimuuttujan reaaliarvoista funktiota asetetaan vektoriksi, syntyy reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio, kaksiulotteinen vektorifunktio.
Kun kaksi jatkuvaa funktiota kuvataan ristikkäin koordinaattiakseleille, syntyy tasokäyrä.
Vektorifunktiot soveltuvat kuvaamaan mm. useampiulotteista liikettä.
Kaksi reaalifunktiota yhteen
Jos f ja g ovat funktioita, syntyy vektorifunktio
H(x) = (f(x), g(x)).
Tehtävä 19
Ohessa on kuvattu tilanne, jossa kutakin reaalilukua x vastaa kuvavektori (f(x), g(x)).
This page requires a Java capable browser. Muunna koordinaatistoksi painamalla "TASOKÄYRÄKSI" ja kokeile eri nappuloiden toimintaa. Tarvittaessa RESEToi.
Selvitä systeemistä seuraavat asiat:
a) Mikä on vektorifunktion arvo pisteessä 0?
b) Missä pisteessä vektorifunktion arvo on noin (3,-3.8)?
c) Mikä seuraavista on f?
4cos 2x 3cos 5x 3sin 5x 		ei tietoa
d) Mikä seuraavista on g?
4sin 2x 3cos 5x 4cos 2x 		ei tietoa

Vektorifunktiot: liikettä tasossa
Tehtävä 20
Ohessa on kuvattu erään hiukkasen liikettä tasossa ajan (t) funktiona.
This page requires a Java capable browser. Kokeile eri nappuloiden toimintaa. Tarvittaessa RESEToi. Oikeassa alareunassa on "mittatikku", jolla voit mitata etäisyyksiä koordinaatistossa.
Selvitä systeemistä seuraavat asiat:
a) Milloin hiukkanen on lähimpänä origoa?
b) Kuinka lähellä se silloin?
c) Milloin hiukkanen on kauimpana origosta?
d) Kuinka kaukana se silloin?
e) Ilmiö on jaksollinen, mikä on jakson pituus?

IV Opiskelijapalaute

Pyydämme Sinua kertomaan mitä pidät tällaisista tehtävistä ja työarkeista matematiikan opiskelun tukena ja välineenä.



Tällaisista työarkeista kiinnostuneet
voivat ottaa yhteyttä:
Martti.Pesonen@uef.fi