Matematiikan johdantokurssi

Funktiodemot, osa II (lomake-osa)

HYVÄ OPISKELIJA
Tämä työarkki on WWW-lomake, joka lähettää valitsemasi tai kirjoittamasi vastaukset tutkijalle (Martti E. Pesonen) sähköpostina, kun painat dokumentin lopussa olevaa Lähetä-nappia.

Älä poistu tältä sivulta ennenkuin olet vastannut ja lähettänyt tuotoksesi.
Kirjoittakaa alle oleviin rekisteröintitietoihin vain yhden henkilön tiedot ja ilmoittakaa toinen/muut dokumentin lopussa olevassa Palaute-osassa.


Nimi: 
Opiskelijanumero: 
Sähköpostiosoite: 

Funktion määritelmä: lähtöjoukko - sääntö - maalijoukko

Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja.
Funktio eli kuvaus joukosta X joukkoon Y on (jollakin tavalla annettu tai olemassaolevaksi sovittu) sääntö, joka liittää jokai(ki)seen X:n alkioon yksikäsitteisesti määrätyn alkion joukosta Y.
Joukko X on funktion lähtö- eli määrittelyjoukko ja Y on sen maalijoukko.

Tuo funktiolle ominainen sääntö voi olla mm. kuvio, sanallinen ilmaus, vastaavuusluettelo, taulukko, arvojen määrittely jonkin lausekkeen avulla tai ilmaiseminen implisiittisesti yhtälön avulla.

Aloita painamalla tästä!

 Seuraavassa kuviossa saat säännön esille ANIMOI-nappulalla tai siirrellen hiirellä muuttujaa x.
Lähtöjoukko ja maalijoukko akseleilla
Tehtävä 1
Ohessa on kuvattu eräs joukkojen X ja Y välinen sääntö.
This page requires a Java capable browser.
a) Onko kyseessä funktio joukosta X joukkoon Y?
kyllä ei ei tietoa
b) Jos ei ole funktio, selitä miksi:
c) Esitä sääntö symbolimuodossa.
f(n) =
d) Miten saat tilannetta sopivasti rajoittamalla aikaan bijektion?
Seuraavissa kuvioissa on monenlaisia kontrollinappuloita ym. välineitä.
Yleensä ainakin muuttujaa x voi liikutella hiirellä.
Jäljet saa pyyhityksi pois kuvion oikean alareunan nappulalla x.
Kaikkia kannattaa kokeilla ennakkoluulottomasti!

Seuraava tehtävä
Reaalifunktiot: akseli-akseliesitys
Tehtävä 2
Ohessa on kuvattu eräs reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio, jota tarkastelemme nyt kuviossa näkyvällä välillä.
This page requires a Java capable browser.
a) Mikä on funktion arvo pisteessä 2 ?
b) Missä pisteessä funktio saa arvon 1 ?
c) Mikä on funktion pienin arvo?
d) Mikä on funktion suurin arvo?
e) Mitä arvoja funktio saa, ts.
mikä on sen arvojoukko?
f) Mikä on välin [0,1] kuvajoukko?

Seuraava tehtävä
Reaalifunktiot: akseli-akseliesitys
Tehtävä 3
Ohessa on kuvattu eräällä välillä määritelty reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio.
This page requires a Java capable browser.
a) Mikä on funktion määrittelyjoukko?
b) Mikä on funktion arvojoukko?
c) Onko funktio monotoninen, ts.
koko määrittelyjoukossa kasvava, tai
koko määrittelyjoukossa vähenevä? 		kyllä ei
ei tietoa
d) Selitä edellistä vastaustasi!
e) Onko funktio jatkuva? kyllä ei
ei tietoa

Esittäminen tasokäyränä

Lienee ilmeistä, että yksiulotteinen esitystapa on monessa suhteessa köyhä analysointiväline.
Niinpä yhden muuttujan funktiota käsitelläänkin yleensä relaationa, karkeasti sanoen järjestettyinä pareina (x,f(x)). Itse asiassa tällainen esitystapa on ikivanha, nimittäin esittäminen havainnollisemmin kaksiulotteisessa koordinaatistossa.

Seuraava tehtävä
Reaalifunktiot: arvot ja kuvaaja
Tehtävä 4
Ohessa on kuvattu eräs reaalimuuttujaa x koskeva tilanne koordinaatistossa.
This page requires a Java capable browser.

Selvitä, mitkä ovat totta:

a) Funktio on kasvava välillä [1,2]. kyllä ei ei tietoa
b) Funktiolla on välillä [4,5] maksimiarvo. kyllä ei ei tietoa
c) Funktio on jatkuva näkyvällä välillä. kyllä ei ei tietoa
d) Funktio on jaksollinen. kyllä ei ei tietoa
e) Funktio on derivoituva välillä [0,1]. kyllä ei ei tietoa
f) Funktion derivaatta pisteessä 1 on
negatiivinen. 		kyllä ei ei tietoa
g) Funktiolla on derivoitumattomuuspisteitä. kyllä ei ei tietoa
8h) Funktiolla on käännepisteitä. kyllä ei ei tietoa

Esimerkkejä

Seuraava tehtävä
Reaalifunktiot: eksponenttifunktiot ax
Tehtävä 5
Ohessa on kuvattu eksponenttifunktioita.
This page requires a Java capable browser. Kantaluvun a arvoa voi säätää alareunan parametriakselilla, jossa on merkittynä Neperin luku e.
a) Millä arvoilla a käyrä y = ax on kasvava ?
b) Millä arvolla a käyrä y = ax kulkee pisteen (3,2) kautta?
c) Millä arvolla a käyrä y = ax on käyrän y = ex peilikuva
pystyakselin suhteen ?
d) Mitä tapahtuu funktion ax kuvaajalle,
kun a lähestyy nollaa positiiviselta puolelta?
Miten käy itse funktion?

Reaalimuuttujan vektoriarvoisista funktioista

Kun kaksi reaalimuuttujan reaaliarvoista funktiota f ja g asetetaan vektoriksi, syntyy reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio, kaksiulotteinen vektorifunktio
H(x) = (f(x), g(x)).
Kun kaksi jatkuvaa funktiota kuvataan ristikkäin koordinaattiakseleille, syntyy tasokäyrä.

Seuraava tehtävä
Vektorifunktiot soveltuvat kuvaamaan mm. useampiulotteista liikettä. Tehtävä 6 Ohessa on kuvattu tilanne, jossa kutakin reaalilukua x vastaa kuvavektori H(x) = (f(x), g(x)).
This page requires a Java capable browser. Alkutilassa hiirellä vedeltävä reaalimuuttuja x on alareunassa omalla reaaliakselillaan ja kahden funktion arvot f(x) ja g(x) omillaan.

Muunna koordinaatistoksi painamalla "TASOKÄYRÄKSI" ja kokeile eri nappuloiden toimintaa. Tarvittaessa RESEToi.
Selvitä systeemistä seuraavat asiat:
a) Mikä on vektorifunktion arvo pisteessä 0?
b) Missä pisteessä vektorifunktion arvo on noin (3,-3.8)?
c) Mikä seuraavista on f(x) ?
4cos 2x 3cos 5x 3sin 5x ei tietoa
d) Mikä seuraavista on g(x) ?
4sin 2x 3cos 5x 4cos 2x ei tietoa


Seuraava tehtävä
Vektorifunktiot: liikettä tasossa
Tehtävä 7
Ohessa on kuvattu erään hiukkasen liikettä tasossa ajan (t) funktiona.
This page requires a Java capable browser. Kokeile eri nappuloiden toimintaa. Tarvittaessa RESEToi. Oikeassa alareunassa on "mittatikku", jolla voit mitata etäisyyksiä koordinaatistossa.
Selvitä systeemistä seuraavat asiat:
a) Milloin hiukkanen on lähimpänä origoa?
b) Kuinka lähellä se silloin?
c) Milloin hiukkanen on kauimpana origosta?
d) Kuinka kaukana se silloin?
e) Ilmiö on jaksollinen, mikä on jakson pituus?

Pysäytä Camtasia-nauhoitus: pause = F9, ja kutsu ohjaaja tallentamaan tiedosto !!

IV Opiskelijapalaute

Pyydämme Sinua kertomaan mitä pidät tällaisista tehtävistä ja työarkeista matematiikan opiskelun tukena ja välineenä.



Tällaisista työarkeista kiinnostuneet
voivat ottaa yhteyttä:
Martti.Pesonen@Joensuu.Fi